《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

23. （本小题满分11分）
冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉嘉所在城市新建滑雪场，嘉嘉依据滑雪场地，以地面（$OB$所在直线）为$x$轴，过起跳点$A$作$x$轴的垂线为$y$轴，构建如图所示的平面直角坐标系，$OA = 60$米.有一运动员通过助滑坡后从起跳点$A$处腾空跃起，沿运动轨迹$APD$运动，最后着陆在滑道$AB$上的点$D$处，然后继续向$B$点滑行，$OB = 120$米.将运动员看作一点，其空中运动轨迹$APD$段可近似看作抛物线$y = -\frac{1}{100}x^{2}+bx + c$的一部分，已知点$P$为运动员在空中的最高点，点$D$为着陆点，且其到地面（$OB$所在直线）的距离为$5$米.
（1）求点$D$坐标.
（2）求抛物线的解析式，并直接写出点$P$坐标.
（3）现该运动员从最高点$P$处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需$40$米的垂直距离.为保证在点$D$处安全着陆，该运动员必须在位于点$F$（$F$为滑道$AB$上一点）正上方$18$米高度的点$E$处停止做转体动作，准备着陆.请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作.

答案：
(1)由题意可知A(0,60)，B(120,0)。
设AB所在直线的解析式为y = kx + m，
则{120k + m = 0，m = 60}，解得{k = -1/2，m = 60}
∴AB所在直线的解析式为y = -1/2x + 60。
令y = 5，即 -1/2x + 60 = 5（点拨：此方程的解为点D的横坐标），解得x = 110，
∴D(110,5)。(4分)
(2)将A(0,60)，D(110,5)分别代入y = -1/100x² + bx + c，
得{-1/100×110² + 110b + c = 5，c = 60}，解得{b = 0.6，c = 60}
∴抛物线的解析式为y = -0.01x² + 0.6x + 60 = -0.01(x-30)²+69，
∴P(30,69)。(8分)
(3)令 -0.01x² + 0.6x + 60 - (-1/2x + 60) = 18（点拨：列方程求点F的横坐标），
整理，得x² - 110x + 1800 = 0，解得x₁ = 20，x₂ = 90。
∵点F在抛物线的对称轴右侧，
∴点F的横坐标是90。
当x = 90时，y = -0.01x² + 0.6x + 60 = 33。
∵69 - 33 = 36＜40，
∴该运动员不能完整做完这个转体动作。(11分)

24. (本小题满分12分)
如图，$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC = 4$，$P$为$AC$边上一点(不含端点)，将$\triangle ABC$沿$BP$折叠，点$A$落在点$D$处，连接$BD$，$PD$，直线$PD$与$BC$边交于点$E$，设$AP = x$.
(1)当$\angle DBC = 5^{\circ}$时，$\angle DPC=$40°或50°；
(2)如图(1)，当$P$为$AC$的中点时，求$\tan\angle PBC$的值；
(3)如图(2)，当$BD$平分$\angle PBC$时，请直接写出$\angle DPC$的度数并求出此时$x$的值；
(4)如图(3)，当点$D$在$BC$上时，请直接写出点$D$到$BC$的距离(用含$x$的代数式表示).

答案：

(1)40°或50° (4分)
解法提示：由折叠知∠BDP = ∠A = 90°。
分两种情况讨论。
①当点D在BC上方时，如图
(1)。
∵∠BDE = 180° - ∠BDP = 90°，
∴∠PEC = ∠BDE + ∠DBC = 90° + 5° = 95°，
∴∠DPC = 180° - ∠PEC - ∠C = 180° - 95° - 45° = 40°。

②如图
(2)，当点D在BC下方时。
∵∠BED = ∠PEC，三角形的内角和是180°，
∴∠DBE + ∠D = ∠DPC + ∠C，即5° + 90° = ∠DPC + 45°，
∴∠DPC = 50°。

综上所述，∠DPC = 40°或50°。
(2)如图
(3)，过点P作PF⊥BC于点F。

∵P是AC的中点，
∴PC = 1/2AC = 2。
∵∠A = 90°，AB = AC，
∴∠C = 45°，
∴FC = PF = PC·sin45° = 2×√2/2 = √2，BC = AB/sin45° = 4/(√2/2) = 4√2，
∴BF = BC - FC = 4√2 - √2 = 3√2，
∴tan∠PBC = PF/BF = √2/(3√2) = 1/3。(7分)
(3)∠DPC = 30°。(8分)
由折叠的性质，得DP = AP = x，∠BDP = ∠A = 90°。
∵∠PBD = ∠EBD，∠PDB = ∠EDB = 90°，BD = BD，
∴△PDB≌△EDB，
∴DE = DP = x，
∴PE = 2x。
如图
(4)，过点E作EG⊥AC于点G，

∵∠DPC = 30°，∠C = 45°，
∴EG = 1/2PE = x，PG = √3/2PE = √3x，GC = EG = x。
∵AC = AP + PG + GC = 4，
∴x + √3x + x = 4，
∴x = 4/(2+√3) = 4×(2-√3) = 8 - 4√3。(11分)
一题多解
本问还可以用如下方法求x的值：
如图，过点P作PM⊥BC于点M。

在Rt△PMC中，∠C = 45°，CP = 4 - x，
∴PM = √2/2CP = √2/2(4 - x)。
∵∠DBE = ∠DBP = ∠ABP，∠ABC = 45°，
∴∠DBE = ∠DBP = ∠ABP = 15°，
∴∠MBP = 30°，
∴BP = 2PM = √2(4 - x)。
在Rt△ABP中，AB = 4，AP = x，
∴BP² = x² + 16，
∴x² + 16 = 2(4 - x)²，
解得x₁ = 8 - 4√3，x₂ = 8 + 4√3（不合题意，舍去），
∴x = 8 - 4√3。
(4)点D到BC的距离为(-2√2x² - 16√2x + 32√2)/(x²+16) (12分)
快招解题法 试题秒解 考场速用
本问可利用“等面积法”列方程求解，解法提示如下：
如图
(5)，连接AD交BP于点H，连接CD，过点D分别作DJ⊥BC于点J，DK⊥PC于点K（点拨：点D实质为△ABC内一动点，DJ不易直接求解，故考虑在△ABC中用“等面积法”求解，故分割△ABC），则BP垂直平分AD。

将△ABC的面积分割成△ABP、△CPD、△BDC的面积之和，故求出DK的长后即可求出DJ的长。
在Rt△ABP中，AB = 4，AP = x，
∴BP = √(x²+16)
∵S△ABP = 1/2AB·AP = 1/2BP·AH（点拨：在△ABP中，利用“等面积法”得到关于AH的方程（本题中x看作已知数））
∴AH = AB·AP/BP = 4x/√(x²+16)，
∴AD = 2AH = 8x/√(x²+16)
易证∠DAK = ∠ABP，
∴sin∠DAK = sin∠ABP，
∴DK/AD = AP/BP，
∴DK = 8x²/(x²+16)
∵S△ABC = 2S△ABP + S△CPD + S△BDC，即1/2AB·AC = 2×1/2AB·AP + 1/2PC·DK + 1/2BC·DJ，
∴1/2×4×4 = 4x + 1/2×(4 - x)×8x²/(x²+16) + 1/2×4√2×DJ（点拨：在△ABC中，利用“等面积法”得到关于DJ的方程）
∴DJ = (-2√2x² - 16√2x + 32√2)/(x²+16)
即点D到BC的距离为(-2√2x² - 16√2x + 32√2)/(x²+16)
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