《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

23. (本小题满分11分)
如图(1),在平面直角坐标系中,二次函数的图象经过原点O和点A(1,3),点B(5,0),AC//OB且与抛物线交于点C.连接AB,BC.
(1) AC的长度为.
(2) 求AB的长度.
(3) 求这个二次函数的解析式.
(4) 如图(2),点P从点O出发,沿线段OB向点B运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,运动的时间为t秒,速度均为1个单位长度/秒,当点Q到达终点时,点P也随之停止运动.过点Q作QM//y轴,交AB于点M.当直线PM垂直于△ABC的一条边时,直接写出t的值.

答案：
23
(1)3
解法提示：$\because$抛物线过点$O(0,0)$，$B(5,0)$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = \frac{0 + 5}{2} = \frac{5}{2}$.
易知点$A,C$关于抛物线的对称轴对称，
$\therefore AC = 2 × (\frac{5}{2} - 1) = 3$.
(2)$\because A(1,3)$，$B(5,0)$，
$\therefore AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$. (4分)
(3)$\because$该抛物线经过原点，
$\therefore$设这个二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx$，
把$A(1,3)$，$B(5,0)$分别代入，得$\begin{cases}a + b = 3,\\25a + 5b = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -\frac{3}{4},\\b = \frac{15}{4},\end{cases}$
$\therefore$这个二次函数的解析式为$y = -\frac{3}{4}x^2 + \frac{15}{4}x$. (8分)
(4)$t = 2$，$\frac{7}{17}$或$\frac{55}{41}$ (11分)
解法提示：由点$A(1,3)$，$B(5,0)$，易得直线$AB$的解析式为$y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4}$.
由题意，得$OP = CQ = t$，$AQ = 3 - t$，$PB = 5 - t$，其中$0 \leq t \leq 3$，$AC // x$轴.
当直线$PM$垂直于$\triangle ABC$的一条边时，分三种情况讨论：
①当$PM \perp AC$时，如图
(1)，则$PM // y$轴.
$\because QM // y$轴，$\therefore$点$P,M,Q$在同一直线上，
$\therefore \triangle AQM \backsim \triangle BPM$，
$\therefore \frac{QM}{AQ} = \frac{PM}{BP}$.
由题意，得$PM = -\frac{3}{4}t + \frac{15}{4}$，$QM = 3 - PM = 3 - (-\frac{3}{4}t + \frac{15}{4}) = \frac{3}{4}t - \frac{3}{4}$，
$\therefore \frac{\frac{3}{4}t - \frac{3}{4}}{3 - t} = \frac{-\frac{3}{4}t + \frac{15}{4}}{5 - t}$，解得$t_1 = 5$(不合题意，舍去)，$t_2 = 2$.
经检验，$t = 2$是原方程的解.
②当$PM \perp BC$时，如图
(2)，延长$QM$交$x$轴于点$D$，过点$C$作$CE \perp x$轴于点$E$.

易证$\triangle PDM \backsim \triangle CEB$，
$\therefore \frac{DM}{BE} = \frac{PD}{CE}$.
由题意，得$PD = 4 - 2t$，$OD = 4 - t$，$BE = 5 - 4 = 1$，$CE = 3$，
$DM = -\frac{3}{4}(4 - t) + \frac{15}{4} = \frac{3}{4}t + \frac{3}{4}$，
$\therefore \frac{\frac{3}{4}t + \frac{3}{4}}{1} = \frac{4 - 2t}{3}$，解得$t = \frac{7}{17}$.
③当$PM \perp AB$时，如图
(3)，延长$QM$交$x$轴于点$H$.

易证$\triangle AQM \backsim \triangle MHP$，$\therefore \frac{MH}{AQ} = \frac{PH}{QM}$
同理①②可得，$MH = \frac{3}{4}t + \frac{9}{4}$，$PH = 4 - 2t$，$QM = 3 - MH = -\frac{3}{4}t + \frac{3}{4}$，
$\therefore \frac{\frac{3}{4}t + \frac{9}{4}}{3 - t} = \frac{4 - 2t}{-\frac{3}{4}t + \frac{3}{4}}$，解得$t_3 = 3$，$t_4 = \frac{55}{41}$.
经检验，$t = 3$不是原方程的解，$t = \frac{55}{41}$是原方程的解.
综上所述，当直线$PM$垂直于$\triangle ABC$的一条边时，$t = 2$，$\frac{7}{17}$或$\frac{55}{41}$.

24. (本小题满分12分)
新情境 利用“U”形尺测量 图(1)是一把“U”形尺,图(2)是该尺内侧的示意图,已知边AB⊥BC,边CD⊥BC,AB = CD = 6 cm,BC = 4 cm.
算一算
将该尺摆放在一些圆上,测量并计算圆的半径r.
(1) 如图(3),点A,B,C,D恰好都在圆上,求r的值.
(2) 如图(4),该尺的边与圆相切于点P,且点P在该尺上的读数为1 cm,点D在圆上,则r = cm.
(3) 如图(5),该尺的AB边与圆有两个公共点P,Q,它们在该尺上的读数分别为5 cm,1 cm,CD边与圆也有两个公共点,其中一个公共点R在该尺上的读数为2 cm,求r的值.
想一想
(4) 嘉嘉同学通过多次试验发现,若将该尺摆放在一个圆上(尺子只摆放一次,圆的圆心未标注),当圆与AB,CD都有交点,且交点满足一定条件时,就能测出圆的半径,请你直接写出可测出的r的最小值和最大值.
河北中考45套汇编·数学 ＜＜8—6

答案：
24
(1)如图
(1)，连接$AC,BC$.

由题意可知，$AB = CD = 6 cm$，$BC = 4 cm$，$AB \perp BC$，
则$\angle ABC = 90^{\circ}$，
$\therefore AC$为该圆的直径.
$\because AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13} (cm)$，
$\therefore r = \sqrt{13} cm$. (3分)
(2)$\frac{41}{8}$ (5分)
解法提示：如图
(2)，设该圆的圆心为$O$，连接$OP$交$CD$于点$Q$，连接$BC,OD$，则$OP \perp AB$.

巧作辅助线：遇切点，连半径，得垂直
由题意可知，$BP = 1 cm$.
易证四边形$BCQP$为矩形，
$\therefore PQ = BC = 4 cm$，$CQ = BP = 1 cm$，
$\therefore OQ = OP - PQ = (r - 4) cm$，$DQ = CD - CQ = 6 - 1 = 5 (cm)$.
在$Rt \triangle DOQ$中，$OD^2 = OQ^2 + DQ^2$，即$r^2 = (r - 4)^2 + 5^2$，
$\therefore r = \frac{41}{8} cm$.
(3)如图
(3)，过圆心$O$作$OM \perp AB$于点$M$，延长$MO$交$CD$于点$N$，连接$OQ,OR,BC$，
则$\angle OMQ = 90^{\circ}$，$MQ = \frac{1}{2}PQ$(依据：垂径定理).

$\because AB \perp BC$，$CD \perp BC$，$OM \perp AB$，
$\therefore$四边形$BCNM$为矩形，
$\therefore \angle ONR = 90^{\circ}$，$BM = CN$，$MN = BC = 4 cm$.
由题意可知，$PB = 5 cm$，$BQ = 1 cm$，$CR = 2 cm$，
$\therefore PQ = PB - BQ = 4 cm$，
$\therefore MQ = \frac{1}{2}PQ = 2 cm$，
$\therefore BM = CN = MQ + BQ = 3 cm$，
$\therefore NR = CN - CR = 1 cm$.
设$OM = x cm$，则$ON = (4 - x) cm$.
在$Rt \triangle MOQ$中，$OQ^2 = r^2 = OM^2 + MQ^2 = x^2 + 2^2$，
在$Rt \triangle NOR$中，$OR^2 = r^2 = ON^2 + NR^2 = (4 - x)^2 + 1^2$，
$\therefore x^2 + 2^2 = (4 - x)^2 + 1^2$，
解得$x = \frac{13}{8}$，
$\therefore r = OQ = \sqrt{(\frac{13}{8})^2 + 2^2} = \frac{5\sqrt{17}}{8} (cm)$. (10分)
(4)$r$的最小值为$2 cm$，最大值为$\frac{13}{2} cm$. (12分)
解法提示：连接$BC$.
当圆与$AB$相切于点$B$时，若圆与$CD$无公共点(如图
(4)或图
(5)所示)，则无法计算出圆的半径.

分析可知，当圆与$AB,CD$均相切时，如图
(6)，此时的$r$为可测出的最小值，为$2 cm$.

如图
(7)，当圆与$AB$相切于点$B$，且过点$D$时，此时的$r$为可测出的最大值.

设圆心为$O$，连接$OB,OD$，则$OB \perp AB$，
$\therefore$点$B,C,O$共线.
在$Rt \triangle COD$中，根据勾股定理，得$OC^2 + CD^2 = OD^2$，
即$(r - 4)^2 + 6^2 = r^2$，
解得$r = \frac{13}{2}$.
故可测出的$r$的最小值为$2 cm$，最大值为$\frac{13}{2} cm$.