《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

20. （本小题满分8分）
某汽车销售店销售甲、乙两款新能源汽车，根据该店某周前五天的销售量（单位：辆）绘制的两幅不完整的统计图如下。

（1）通过计算补全条形统计图；
（2）求周一到周五甲款新能源汽车销售量的平均数；
（3）该店想做一个车主回馈活动，从周五购车的车主中随机选取两名赠送小礼品，请用画树状图或列表的方法求出所选的车主购买的车恰好是同一款车的概率。

答案：

(1)$\because$周二的销售量为8辆，$\therefore$该周前五天的销售量为$8 ÷ 20\% = 40$(辆)，$\therefore$周三的销售量为$40 × \frac{108}{360} = 12$(辆)，周四的销售量为$40 × 15\% = 6$(辆)，$\therefore$周三乙款新能源汽车的销售量为$12 - 6 = 6$(辆)，周四甲款新能源汽车的销售量为$6 - 1 = 5$(辆). (2分)
补全条形统计图如图所示.
甲、乙两款新能源汽车销售量条形统计图

(4分)
(2)周一到周五甲款新能源汽车销售量的平均数为$(4 + 3 + 6 + 5 + 2) ÷ 5 = 4$(辆). (6分)
(3)由题意列表如下：
甲1 甲2 乙1 乙2 乙3
甲1 (甲1，甲2) (甲1，乙1) (甲1，乙2) (甲1，乙3)
甲2 (甲2，甲1) (甲2，乙1) (甲2，乙2) (甲2，乙3)
乙1 (乙1，甲1) (乙1，甲2) (乙1，乙2) (乙1，乙3)
乙2 (乙2，甲1) (乙2，甲2) (乙2，乙1) (乙2，乙3)
乙3 (乙3，甲1) (乙3，甲2) (乙3，乙1) (乙3，乙2)
由表格可知，共有20种等可能的结果，所选的车主购买的车恰好是同一款车的结果有8种，故所求概率为$\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$. (8分)

21. （本小题满分9分）
如图，抛物线$L_1: y = ax^2 - 2x - 1$经过点$(-2,m)$，$(6,m)$，点$P$是抛物线$L_1$的顶点。
（1）求$a$，$m$的值及点$P$的坐标。
（2）将抛物线$L_1$平移，使其顶点落在$x$轴上，得到抛物线$L_2$。
① 直接写出抛物线$L_1$平移的最短路程及此时抛物线$L_2$的顶点坐标；
② 在①的条件下，抛物线$L_2$上有一个动点$Q$，其横坐标为$x_Q$，当$n ≤ x_Q ≤ 4$时，点$Q$路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求$n$的取值范围。

答案：
(1)$\because$抛物线$L_{1}$经过点$( - 2,m)$，$(6,m)$，$\therefore$其对称轴为直线$x = \frac{- 2 + 6}{2} = 2$，$\therefore - \frac{- 2}{2a} = 2$，$\therefore a = \frac{1}{2}$，$\therefore$抛物线$L_{1}$的解析式为$y = \frac{1}{2}x^{2} - 2x - 1$.
将$( - 2,m)$代入$y = \frac{1}{2}x^{2} - 2x - 1$，得$m = \frac{1}{2} × ( - 2)^{2} - 2 × ( - 2) - 1 = 5$.
$\because y = \frac{1}{2}x^{2} - 2x - 1 = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 3$，$\therefore$点P的坐标为$(2, - 3)$. (5分)
(2)①3 $(2,0)$
解法提示：$\because$抛物线$L_{2}$的顶点落在x轴上，且点P的坐标为$(2, - 3)$，$\therefore$抛物线$L_{1}$平移的最短路程为3，此时顶点坐标为$(2,0)$.
②由①得，抛物线$L_{2}$的解析式为$y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2}$. (8分)
令$x = 4$，则$y = \frac{1}{2} × (4 - 2)^{2} = 2$.
$\because$点$(4,2)$关于抛物线$L_{2}$对称轴对称的点的坐标为$(0,2)$，当$n \leq x_{0} \leq 4$时，点Q路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，$\therefore 0 \leq n \leq 2$. (9分)