《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

22. (本小题满分9分)
新考法 折叠操作 【情境】
数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图(1)，$AB$是$\odot O$的直径，$AB = 4$，沿弦$CD$折叠，使折叠后的$\overset{\frown}{CD}$与$AB$相切于点$E$。
【发现】
$\overset{\frown}{CED}$所在圆的半径为2。
【探究】
为了找到$\overset{\frown}{CED}$所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式。
淇淇说：取弦$CE$和弦$ED$的中垂线的交点即可。
嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图(2)，只需作点$O$关于直线$CD$的对称点$O'$，点$O'$即为所求。
淇淇说：这样看来，折叠后，切点$E$在线段$AB$上运动，可以看成$\odot O'$在线段$AB$上滚动。
嘉嘉说：没错，当点$E$在线段$AB$上运动时，点$O'$的运动路线和线段$AB$的位置关系是平行。
【拓展】
(1)如图(3)，若切点$E$为$OB$的中点，连接$O'B$，交$\odot O$于点$M$，连接$AM$，求弦$AM$的长；
(2)若切点$E$落在线段$OB$上(包括端点)，直接写出$CD$的最大值和最小值。

答案：
【发现】2 (1分)
【探究】平行 (3分)
解法提示：$\because \odot O'$与AB相切于点E，$\therefore O'E \perp AB$.
又$\because O'E = 2$，$\therefore$点O'的运动路线和线段AB平行.
【拓展】
(1)如图
(1)，连接$O'E$.
$\because \odot O'$与AB相切于点E，$\therefore \angle O'EB = 90^{\circ}$(依据：切线的性质).
巧作辅助线：见相切，连半径，得垂直

$\because$点M在$\odot O$上，AB为$\odot O$的直径，$\therefore \angle AMB = 90^{\circ}$(依据：直径所对的圆周角是直角).
在$\triangle AMB$和$\triangle O'EB$中，$\angle AMB = \angle O'EB$，$\angle ABM = \angle O'BE$，$\therefore \triangle AMB \backsim \triangle O'EB$，$\therefore \frac{AM}{AB} = \frac{O'E}{O'B}$
$\because E$为OB的中点，$OB = 2$，$\therefore EB = 1$.
又$\because O'E = 2$，$\therefore O'B = \sqrt{O'E^{2} + E'B^{2}} = \sqrt{5}$，$\therefore \frac{AM}{4} = \frac{2}{\sqrt{5}}$，$\therefore AM = \frac{8\sqrt{5}}{5}$. (7分)
(2)最大值为$2\sqrt{3}$，最小值为$2\sqrt{2}$. (9分)
解法提示：如图
(2)，设$OO'$与CD交于点H，连接OC，$O'E$.

设$OE = x$，则$OO' = \sqrt{OE^{2} + O'E^{2}} = \sqrt{x^{2} + 4}$.
$\because$点O，$O'$关于直线CD对称，$\therefore OO' \perp CD$，$OH = O'H = \frac{1}{2}OO' = \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} + 4}$，$\therefore DH = CH = \sqrt{OC^{2} - OH^{2}} = \sqrt{3 - \frac{x^{2}}{4}}$，$\therefore CD = 2CH = \sqrt{12 - x^{2}}$(关键点：用含x的式子表示CD的长).
$\because$点E在线段OB上，$\therefore 0 \leq x \leq 2$，$\therefore 2\sqrt{2} \leq CD \leq 2\sqrt{3}$，$\therefore CD$的最大值为$2\sqrt{3}$，最小值为$2\sqrt{2}$.
一题多解
第
(2)题还可以先找出CD取最大值和最小值时的位置，再求解，如下：
如图
(1)，当点E与点0重合时，CD最长，此时点D'在$OO'$上，
设$OO'$与CD交于点H，连接OC.
$\because$点O，$O'$关于直线CD对称，
$\therefore OO' \perp CD$，$OH = O'H = \frac{1}{2}OO' = 1$，
$\therefore DH = CH = \sqrt{OC^{2} - OH^{2}} = \sqrt{3}$，$CD = 2\sqrt{3}$；

如图
(2)，当点E与点B重合时，CD最短，此时点D也与点B重合.
连接$O'B$，$OC$，则$\angle OBO' = 90^{\circ}$.
由对称知BC平分$\angle OBO'$，
$\therefore \angle OBC = \frac{1}{2}\angle OBO' = 45^{\circ}$，由此易得$\angle BOC = 90^{\circ}$，$CD = \sqrt{2}OC = 2\sqrt{2}$.
综上，CD的最大值为$2\sqrt{3}$，最小值为$2\sqrt{2}$.

23. （本小题满分10分）
新课标 跨学科试题 已知点$A(-3,a)$，点$B(a + 2,a)$，其中$a ＞ -5$。一束光从点$P(0,-4)$沿直线$y = kx + b$发出，形成的光线$l$与线段$AB$交于点$Q$，若点$Q$为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线$l$穿过线段$AB$得到图（1），否则光线$l$在点$Q$处被反射得到射线$QM$（说明：反射角 = 入射角），进而得到图（2）。
（1）若点$Q$的坐标为$(-\frac{5}{2},4)$，
① 求直线$y = kx + b$的解析式（不必写自变量的取值范围）。
② 射线$QM$是否经过点$(-3,2)$？请说明理由。
（2）若$a = 3$，且$AB$上的整数点被点$Q$分为个数之比为$2:7$的两部分，求$k$的取值范围。
（3）若光线$l$穿过线段$AB$，且$k$为正整数，点$Q$为$AB$的中点，直接写出此时满足条件的整数$a$的个数。

答案：
(1)①$\because$直线$y = kx + b$经过点$P(0, - 4)$，$Q( - \frac{5}{2},4)$，$\therefore b = - 4$，$ - \frac{5}{2}k + b = 4$，$\therefore \begin{cases} b = - 4, \\ - \frac{5}{2}k + b = 4, \end{cases} \therefore \begin{cases} k = - \frac{16}{5}, \\ b = - 4, \end{cases}$$\therefore$直线$y = kx + b$的解析式为$y = - \frac{16}{5}x - 4$. (3分)
②不经过. (4分)
理由：由题意知直线PQ与直线QM关于直线$x = - \frac{5}{2}$对称，$\therefore$点$P(0, - 4)$关于直线$x = - \frac{5}{2}$的对称点$P'( - 5, - 4)$在直线QM上.
设射线QM的解析式为$y = mx + n$，
将$( - 5, - 4)$，$( - \frac{5}{2},4)$分别代入，
得$\begin{cases} - 4 = - 5m + n, \\ 4 = - \frac{5}{2}m + n, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = \frac{16}{5}, \\ n = 12, \end{cases}$
$\therefore$射线QM的解析式为$y = \frac{16}{5}x + 12(x \leq - \frac{5}{2})$.
当$x = - 3$时，$y = \frac{16}{5} × ( - 3) + 12 = \frac{12}{5} \neq 2$，$\therefore$射线QM不经过点$( - 3,2)$. (6分)
(2)当$a = 3$时，点$A( - 3,3)$，点$B(5,3)$，$\therefore$线段AB上的整数点有$( - 3,3)$，$( - 2,3)$，$( - 1,3)$，$(0,3)$，$(1,3)$，$(2,3)$，$(3,3)$，$(4,3)$，$(5,3)$，共9个.
$\because$AB上的整数点被点Q分为个数之比为2:7的两部分，$\therefore$点Q在$( - 2,3)$和$( - 1,3)$之间或在$(3,3)$和$(4,3)$之间.
$\because$直线l经过点$P(0, - 4)$，$\therefore$直线l的解析式为$y = kx - 4$.
将$( - 2,3)$代入$y = kx - 4$，得$k = - \frac{7}{2}$；
将$( - 1,3)$代入$y = kx - 4$，得$k = - 7$；
将$(3,3)$代入$y = kx - 4$，得$k = \frac{7}{3}$；
将$(4,3)$代入$y = kx - 4$，得$k = \frac{7}{4}$；
故k的取值范围为$- 7 ＜ k ＜ - \frac{7}{2}$或$\frac{7}{4} ＜ k ＜ \frac{7}{3}$ (8分)
(3)满足条件的整数a的个数为2. (10分)
解法提示：$\because$点Q为线段AB的中点，$\therefore Q(\frac{a - 1}{2},a)$.
将$(\frac{a - 1}{2},a)$代入直线$y = kx - 4$，
得$a = \frac{a - 1}{2} × k - 4$，解得$k = \frac{2a + 8}{a - 1} = 2 + \frac{10}{a - 1}$.
$\because k$为正整数，$a ＞ - 5$且a为整数，且点Q为整数点，$\therefore$列表如下(点拨：先根据$\frac{10}{a - 1}$是整数，得到其可能是1，2，5，10，再求出相应的a，$\frac{a - 1}{2}$的值，当三者的值均为整数时即符合题意)：
$\frac{10}{a - 1}$ 1 2 5 10
a 11 6 3 2
$\frac{a - 1}{2}$ 5 2.5 1 0.5
k 3 4 7 12
$\therefore a = 11$或3，即满足条件的整数a的个数为2.