《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

10. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺. 井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺(注：1尺≈0.33米)；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺. 问井深多少尺？下列说法正确的是(D)

A.设井深为x尺，所列方程为$3(x + 4) = 4(x - 1)$
B.设绳子的长为x尺，所列方程为$\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x + 1$
C.绳子的长是32尺
D.井深8尺

答案： 10 D 若设井深为$x$尺，则所列方程为$3(x + 4) = 4(x + 1)$(提示：根据绳长相等列方程)，解得$x = 8$，故井深8尺，绳子的长为36尺；若设绳子的长为$x$尺，则所列方程为$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$(提示：根据井深相等列方程)。故选D。

11. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD. 若$CD = AD$，$\angle B = 20^{\circ}$，则下列结论中错误的是(A)

A.$\angle A = 40^{\circ}$
B.$\angle ACD = 70^{\circ}$
C.点D为△ABC的外心
D.$\angle ACB = 90^{\circ}$

答案： 11 A 由题意可知直线$MN$是线段$BC$的垂直平分线，$\therefore BD = CD$，$\angle BCD = \angle B = 20^{\circ}$，$\therefore \angle CDA = 20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ}$(依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)。$\because CD = AD$，$\therefore \angle ACD = \angle A = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = 70^{\circ}$，故选项A错误，B正确。$\because CD = AD = BD$，$\therefore$点$D$为$\triangle ABC$的外心(提示：三角形外接圆的圆心是三角形的外心)，故选项C正确。$\because \angle ACD = 70^{\circ}$，$\angle BCD = 20^{\circ}$，$\therefore \angle ACB = 70^{\circ} + 20^{\circ} = 90^{\circ}$，故选项D正确。故选A。

12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形$OA_{1}B_{1}C_{1}$，$B_{1}A_{2}B_{2}C_{2}$，$B_{2}A_{3}B_{3}C_{3}$，…的顶点$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$，…在x轴上，顶点$C_{1}$，$C_{2}$，$C_{3}$，…在直线$y = kx + b$上，若$OB_{1} = 2$，$B_{1}B_{2} = 3$，则：
①点$C_{1}$的坐标为$(1,1)$；②直线$y = kx + b$的解析式为$y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$；③$S_{\triangle C_{1}B_{1}C_{2}}:S_{\triangle C_{2}B_{2}C_{3}} = 2:3$；④点$C_{n}$的横坐标为$5·(\frac{3}{2})^{n - 1} - 4$.
其中说法正确的为(C)

A.①②
B.①②③
C.①②④
D.②③

答案：
12 C 如图，分别过点$C_1$，$C_2$作$x$轴的垂线，垂足分别为点$M$和$N$。$\because$四边形$OA_1B_1C_1$和四边形$B_1A_2B_2C_2$是正方形，且$OB_1 = 2$，$B_1B_2 = 3$，$\therefore OM = MB_1 = C_1M = 1$，$B_1N = NB_2 = C_2N = \frac{3}{2}$，$\therefore$点$C_1$的坐标为$(1,1)$，点$C_2$的坐标为$(\frac{7}{2},\frac{3}{2})$，故①正确。将点$C_1$，$C_2$的坐标分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}k + b = 1, \\ \frac{7}{2}k + b = \frac{3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k = \frac{1}{5}, \\ b = \frac{4}{5},\end{cases}$$\therefore$直线$y = kx + b$的解析式为$y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$，故②正确。由题意可知$A_1C_1 // A_2C_2$，$A_2C_2 // A_3C_3$，$\therefore \triangle C_1B_1C_1 \sim \triangle C_2B_2C_3$，$\therefore \frac{S_{\triangle C_1B_1C_1}}{S_{\triangle C_2B_2C_3}} = (\frac{C_1B_1}{C_2B_2})^{2}$，$\because \frac{C_1B_1}{C_2B_2} = \frac{C_1M}{C_2N} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$，$\therefore \frac{S_{\triangle C_1B_1C_1}}{S_{\triangle C_2B_2C_3}} = 4:9$，故③错误。过点$C_3$作$x$轴的垂线，垂足为点$P$，设$B_2P = PC_3 = t$，则$C_3(5 + t,t)$。将点$C_3$的坐标代入$y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$，得$\frac{1}{5}(5 + t) + \frac{4}{5} = t$，解得$t = \frac{9}{4}$，$\therefore$点$C_3$的纵坐标为$\frac{9}{4}$。同理可得，点$C_4$的纵坐标为$(\frac{3}{2})^{3 - 1} = \frac{27}{8}$。令$\frac{1}{5}x + \frac{4}{5} = (\frac{3}{2})^{n - 1}$，得$x = 5 · (\frac{3}{2})^{n - 1} - 4$，$\therefore$点$C_n$的横坐标为$5 · (\frac{3}{2})^{n - 1} - 4$，故④正确。故选C。

13. 因式分解：$a^{2} - 3a =$a(a - 3).

答案： 13 $a(a - 3)$

14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是$h = 30t - 5t^{2}(0\leqslant t\leqslant6)$，则小球的最大高度为45m.

答案： 14 45
【解析】$\because h = 30t - 5t^{2} = -5(t - 3)^{2} + 45$，$-5 ＜ 0$，$\therefore$当$t = 3$时，$h$取得最大值45，$\therefore$小球的最大高度为45m。

15. 现有A，B，C三种不同型号的矩形纸片若干张(边长如图所示). 若要拼成一个长为$3a + 2b$，宽为$2a + b$的矩形，则需要A种纸片和C种纸片合计13张.

答案： 15 13
【解析】$\because (3a + 2b)(2a + b) = 6a^{2} + 3ab + 4ab + 2b^{2} = 6a^{2} + 7ab + 2b^{2}$，$\therefore$需要6张A种纸片，7张C种纸片，$\therefore$需要A种纸片和C种纸片合计13张。

16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，$AC = 6$，$\angle ABC = 120^{\circ}$. 点A与点$A'$关于过点O的直线l对称，直线l与AD交于点P. 当点$A'$落在BD的延长线上时，AP的长为$3\sqrt{3} - 3$.

答案：
16 $3\sqrt{3} - 3$
名师教解题

【解析】如图，连接$A'D$，过点$P$作$PH \perp AO$于点$H$。$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AC \perp BD$，$AO = \frac{1}{2}AC = 3$，$AC$平分$\angle DAB$，$AD // BC$，$\therefore \angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABC = 60^{\circ}$，$\therefore \angle PAO = \frac{1}{2}\angle BAD = 30^{\circ}$。$\because$点$A$与点$A'$关于直线$l$对称，点$A'$在$BD$的延长线上，$\therefore$直线$l$平分$\angle AOA'$，$\therefore \angle AOP = 45^{\circ}$，$PH = OH$。设$PH = OH = x$，则$AH = \sqrt{3}x$，$\therefore \sqrt{3}x + x = 3$(点拨：根据$OA$的长度列方程)，$\therefore x = \frac{3\sqrt{3} - 3}{2}$，$\therefore AP = 2PH = 2x = 3\sqrt{3} - 3$。
巧作辅助线：欲求$AP$，构造$AP$所在的直角三角形