《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

24. (本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x²+bx+c经过点A(0,3),B(6,3),顶点为P.抛物线y=a(x-3)²+d(a＜0)经过点C($\frac{1}{2}$,2).两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L₁,L₂.
(1)求b,c的值及点P的坐标.
(2)点D在L₁上,到x轴的距离为$\frac{23}{4}$.判断L₂能否经过点D,若能,求a的值;若不能,请说明理由.
(3)直线AE:y=kx+n(k＞0)交L₁于点E,点M在线段AE上,且点M的横坐标是点E横坐标的一半.
①若点E与点P重合,点M恰好落在L₂上,求a的值;
②若点M为直线AE与L₂的唯一公共点,请直接写出k的值.

答案：
(1)
∵抛物线 y = -x² + bx + c 经过点 A(0, 3), B(6, 3),
∴$\begin{cases}c = 3\\-36 + 6b + c = 3\end{cases}, $解得$\begin{cases}b = 6\\c = 3\end{cases}, $
∴L₁ 所在抛物线的解析式为 y = -x² + 6x + 3 = -(x - 3)² + 12,
∴P(3, 12).
(2)不能
理由如下：对于 y = -x² + 6x + 3,
令$ y = \frac{23}{4}, $即$\frac{23}{4} = -x² + 6x + 3,$
解得$ x₁ = \frac{1}{2}, x₂ = \frac{11}{2},$
∴点 D 的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{23}{4})$或$(\frac{11}{2},\frac{23}{4}).$
∵L₂ 经过点$ C(\frac{1}{2}, 2), $对称轴为直线 x = 3,
∴L₂ 也经过点$(\frac{11}{2}, 2)($点拨：点$(\frac{11}{2}, 2)$为点 C 关于直线 x = 3 的对称点).
∵$\frac{23}{4} ≠ 2, $
∴L₂ 不能经过点 D.
(3)①
∵直线 AE 过点 A(0, 3),
∴n = 3.
∵点 E 与点 P 重合,
∴直线 y = kx + 3 经过点(3, 12),
∴3k + 3 = 12, 解得 k = 3,
∴直线 AE 的解析式为 y = 3x + 3.
由题意, 得点 M 的横坐标为$\frac{3}{2},$
∴点 M 的纵坐标是$ 3×\frac{3}{2} + 3 = \frac{15}{2},$
∴点 M 的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{2}).$
将$ C(\frac{1}{2}, 2), M(\frac{3}{2},\frac{15}{2})$分别代入 y = a(x - 3)² + d,
得$\begin{cases}2 = a(\frac{1}{2} - 3)² + d\frac{15}{2} = a(\frac{3}{2} - 3)² + d\end{cases}, $可求得$ a = -\frac{11}{8}.$
本问还可以用如下方法求点 M 的坐标：
∵点 M 的横坐标是点 E 横坐标的一半,
∴M 是 AE 的中点.
当点 E 与点 P 重合时, 点 E 的坐标为(3, 12).
∵A(0, 3),
∴$M(\frac{3}{2},\frac{15}{2})($提示：根据中点坐标公式).
$②k = 6 - \sqrt{15}.$
解法提示：由①知直线 AE 的解析式为 y = kx + 3.
将$ C(\frac{1}{2}, 2)$代入 y = a(x - 3)² + d, 得$ 2 = a(\frac{1}{2} - 3)² + d, $
∴$d = 2 - \frac{25}{4}a, $
∴L₂ 的解析式为$ y = a(x - 3)² + 2 - \frac{25}{4}a = ax² - 6ax + \frac{11}{4}a + 2.$
令$ ax² - 6ax + \frac{11}{4}a - 1 = 0($说明：此方程的解为直线 AE 与 L₂ 交点的横坐标),
可得$ x₁ + x₂ = \frac{6a + k}{a}($关键点：用含 a, k 的式子表示出 x₁ + x₂).
∵点 M 为直线 AE 与 L₂ 的唯一公共点,
∴$Δ = (6a + k)² - 4a(\frac{11}{4}a - 1) = 0, ①$
点 E 的横坐标为$\frac{6a + k}{a}($提示：点 M 为直线 AE 与 L₂ 的唯一公共点,
∴前面求出的 x₁ + x₂ 的值实质为点 M 横坐标的 2 倍. 又
∵点 M 的横坐标是点 E 横坐标的一半,
∴点 E 的横坐标为 x₁ + x₂).
令 -x² + 6x + 3 = kx + 3(点拨：列方程求直线 AE 与 L₁ 交点(点 E)的横坐标),
整理, 得 x² + (k - 6)x = 0, 解得 x₃ = 0, x₄ = 6 - k,
∴点 E 的横坐标为 6 - k,
∴$\frac{6a + k}{a} = 6 - k($点拨：用两种方法求出点 E 的横坐标, 从而可列出方程),
∴a = -1(提示：原分式方程去分母后, 整理得 -k(a + 1) = 0.
∵k ≠ 0,
∴a = -1).
将 a = -1 代入①, 可得$(-6 + k)² + 4×(-\frac{11}{4} - 1) = 0,$
整理, 得 k² - 12k + 21 = 0,
解得$ k₁ = 6 + \sqrt{15}, k₂ = 6 - \sqrt{15}.$
当$ k = 6 + \sqrt{15}$时, 点 E 的横坐标为$ 6 - (6 + \sqrt{15}) = -\sqrt{15} $＜ 0, 不符合题意;
当$ k = 6 - \sqrt{15}$时, 点 E 的横坐标为$ 6 - (6 - \sqrt{15}) = \sqrt{15} ＞ 0, $符合题意.
故$ k = 6 - \sqrt{15}.$