《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

20. （本小题满分9分）
如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点$A$，$B$，$C$所对应的数依次为$-4$，2，32，乙数轴上的三点$D$，$E$，$F$所对应的数依次为0，$x$，12.
（1）计算$A$，$B$，$C$三点所对应的数的和，并求$\frac{AB}{AC}$的值；
（2）当点$A$与点$D$上下对齐时，点$B$，$C$恰好分别与点$E$，$F$上下对齐，求$x$的值.

答案： 20
(1)$-4 + 2 + 32 = 30$. (5分)
$\frac{AB}{AC}=\frac{2 - (-4)}{32 - (-4)}=\frac{1}{6}$ (7分)
(2)由题意知$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{x}{12}=\frac{1}{6}$，
解得$x = 2$. (9分)

21. （本小题满分9分）
甲、乙、丙三张卡片正面分别写有$a + b$，$2a + b$，$a - b$，除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a = 1$，$b = -2$时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.

答案： 21
(1)当$a = 1$,$b = - 2$时,$a + b = - 1$,$2a + b = 0$,$a - b = 1 - (-2)=3$. (3分)
共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果有1种，$\therefore$取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\frac{1}{3}$. (4分)
(2)补全表格如下:
$a + b$ $2a + 2b$ $3a + 2b$ $2a$
$2a + b$ $3a + 2b$ $4a + 2b$ $3a$
$a - b$ $2a$ $3a$ $2a - 2b$
(8分)
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有4种，故所求概率为$\frac{4}{9}$. (9分)

22. （本小题满分9分）
新题型 锐角三角函数的实际应用题中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点$P$恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离$BQ = 4m$，仰角为$\alpha$；淇淇向前走了3m后到达点$D$，透过点$P$恰好看到月亮，仰角为$\beta$，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面$BQ$的距离$AB = CD = 1.6m$，点$P$到$BQ$的距离$PQ = 2.6m$，$AC$的延长线交$PQ$于点$E$.
（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求$\beta$的大小及$\tan\alpha$的值；
（2）求$CP$的长及$\sin\angle APC$的值.

答案：
22 名师教审题
几何应用题系列
根据题意，在图中标出相关数据如图所示。

(1)由题意知$\angle CEP = 90^{\circ}$,$CE = DQ = BQ - BD = 4 - 3 = 1(m)$,$PE = PQ - EQ = 2.6 - 1.6 = 1(m)$,$\therefore \beta = 45^{\circ}$. (3分)
在$Rt\triangle PAE$中,$\tan \alpha = \frac{PE}{AE}=\frac{1}{4}$. (5分)
(2)$\because CE = PE = 1m$,$\angle CEP = 90^{\circ}$,$\therefore CP = \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}(m)$. (7分)
如图，过点$C$作$CH\perp AP$于点$H$.

$\because \frac{CH}{AH}=\tan \alpha = \frac{1}{4}$,$\therefore$设$CH = xm$，则$AH = 4xm$.
在$Rt\triangle ACH$中，根据勾股定理，得$CH^{2}+AH^{2}=AC^{2}$，即$x^{2}+(4x)^{2}=9$，$\therefore x = \frac{3\sqrt{17}}{17}$，$\therefore CH = \frac{3\sqrt{17}}{17}m$，$\therefore \sin \angle APC = \frac{CH}{CP}=\frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}$. (9分)
名师讲方法
高分技法
解直角三角形的实际应用题的解题通法
(1)应用“解直角三角形”的模型解决问题，关键是把已知角放在直角三角形中，当两个直角三角形有公共边时，公共边是联系两个直角三角形的纽带，通常要求出这条公共边的长度，进而解决问题。
(2)当图形中没有直角三角形时，则需要根据实际情况构造直角三角形。
(3)运用“解直角三角形”的模型解决实际问题的步骤：
①审题，根据题干，弄明白图形中哪些是已知量，哪些是未知量；②将已知条件转化到示意图中，把实际问题转化为解直角三角形的问题；③选择适当的关系式解直角三角形。