《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

23. （本小题满分10分）
如图，点$P(a,3)$在抛物线$C:y=4-(6-x)^{2}$上，且在$C$的对称轴右侧.
（1）写出$C$的对称轴和$y$的最大值，并求$a$的值.
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点$P$及$C$的一段，分别记为$P'$，$C'$. 平移该胶片，使$C'$所在抛物线对应的函数恰为$y=-x^{2}+6x-9$，求点$P'$移动的最短路程.

答案：
23
(1)$\because y = 4 - (6 - x)^{2} = - (x - 6)^{2} + 4$，$\therefore C$的对称轴为直线$x = 6$，$y$的最大值是4.
把$x = a$，$y = 3$代入$y = 4 - (6 - x)^{2}$，得$3 = 4 - (6 - a)^{2}$，解得$a_{1} = 5$，$a_{2} = 7$.
又$\because a ＞ 6$，$\therefore a = 7$.
(2)$y = - x^{2} + 6x - 9 = - (x - 3)^{2}$，$\therefore$抛物线$y = - x^{2} + 6x - 9$的顶点为$N(3,0)$.
如图，过$C$的顶点$M(6,4)$作$MA \perp x$轴于点$A$.

连接$MN$，$PP^{\prime}$. 由平移可知，$PP^{\prime} = MN$，$\therefore$点$P^{\prime}$移动的最短路程是$PP^{\prime} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$.

24. （本小题满分10分）
如图，某水渠的横断面是以$AB$为直径的半圆$O$，其中水面截线$MN// AB$. 嘉琪在$A$处测得竖直站立于$B$处的爸爸头顶$C$的仰角为$14^{\circ}$，点$M$的俯角为$7^{\circ}$. 已知爸爸的身高为1.7m.
（1）求$\angle C$的大小及$AB$的长；
（2）

请

在图中画出线段$DH$，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）.
（参考数据：$\tan76^{\circ}$取4，$\sqrt{17}$取4.1）

答案：
24 名师教审题
几何应用题系列
题干：$·s ·s$在$A$处测得竖直立于$B$处的爸爸头顶$C$的仰角为$14^{\circ}$，点$M$的俯角为$7^{\circ}$. 已知爸爸的身高为$1.7 m·s·s$
提取信息：$\angle BAC = 14^{\circ}$，$\angle BAM = 7^{\circ}$，$BC = 1.7 m$.
(1)$\because BC \perp AB$，$\therefore \angle C + \angle CAB = 90^{\circ}$.
$\because \angle CAB = 14^{\circ}$，$\therefore \angle C = 90^{\circ} - 14^{\circ} = 76^{\circ}$.
又$\because \frac{AB}{BC} = \tan 76^{\circ} \approx 4$，且$BC = 1.7$，$\therefore AB = 4 × 1.7 = 6.8$，即$AB$的长约为6.8m.
(2)如图，过点$C$作$OH \perp MN$于点$D$，交半圆$O$于点$H$，线段$DH$即为所求
$\because MN // AB$，$\therefore AB \perp OH$.
连接$OM$，$\because \angle BAM = 7^{\circ}$，$\therefore \angle BOM = 2\angle BAM = 14^{\circ}$(依据：圆周角定理)，$\therefore \angle MOD = 90^{\circ} - 14^{\circ} = 76^{\circ}$.
在$Rt \triangle MOD$中$\frac{MD}{OD} = \tan 76^{\circ} \approx 4$.
设$OD = k(k ＞ 0)$，则$MD = 4k$，$\therefore 3.4^{2} = k^{2} + (4k)^{2}$，解得$k = \pm \frac{\sqrt{17}}{5}$(舍负)，$\therefore DH = 3.4 - \frac{\sqrt{17}}{5} \approx 3.4 - \frac{4.1}{5} \approx 2.6$，即最大水深约为$2.6 m$.

25. （本小题满分10分）
如图，平面直角坐标系中，线段$AB$的端点为$A(-8,19)$，$B(6,5)$.
（1）求$AB$所在直线的解析式.
（2）某同学设计了一个动画：
在函数$y=\overline{m}x+\overline{n}(m\neq0,y\geq0)$中，分别输入$m$和$n$的值，便得到射线$CD$，其中$C(c,0)$. 当$c=2$时，会从$C$处弹出一个光点$P$，并沿$CD$飞行；当$c\neq2$时，只发出射线而无光点弹出.
①若有光点$P$弹出，试推算$m$，$n$应满足的数量关系；
②当有光点$P$弹出，并击中线段$AB$上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段$AB$就会发光，求此时整数$m$的个数.

答案： 25
(1)设$AB$所在直线的解析式为$y = kx + b$，把$(-8,19)$，$(6,5)$分别代入，得$\begin{cases}19 = -8k + b, \\5 = 6k + b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1, \\b = 11,\end{cases}$$\therefore AB$所在直线的解析式为$y = -x + 11$.
(2)①把$x = 2$，$y = 0$代入$y = mx + n$，得$0 = 2m + n$，即$n = -2m$，$\therefore m$，$n$应满足的数量关系是$n = -2m$.
②设光点$P$击中线段$AB$上的点为$(a,d)$，则$d = -a + 11$，$\therefore a = 11 - d(5\leqslant d\leqslant 19)$，当$d$是整数时，$a$也是整数.
$\because$点$P$在射线$CD$上，$\therefore$由①得$d = ma - 2m$，$\therefore m = \frac{d}{a - 2} = \frac{d}{9 - d} = \frac{9}{9 - d} - 1$，只有$d = 6$，8，10，12，18时，$m$为整数，且其个数是5.