《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

15. 由$(\frac{1 + c}{2 + c} - \frac{1}{2})$值的正负可以比较$A = \frac{1 + c}{2 + c}$与$\frac{1}{2}$的大小,下列正确的是 (C)

A.当$c = -2$时,$A = \frac{1}{2}$
B.当$c = 0$时,$A \neq \frac{1}{2}$
C.当$c ＜ -2$时,$A ＞ \frac{1}{2}$
D.当$c ＜ 0$时,$A ＜ \frac{1}{2}$

答案： 15C 当$c = - 2$时，$2 + c = 0$，此时$\frac{1 + c}{2 + c}$没有意义，故选项A不正确.当$c = 0$时，$\frac{1 + c}{2 + c}=\frac{1 + 0}{2 + 0}=\frac{1}{2}$，故选项B不正确.
$\frac{1 + c}{2 + c}-\frac{1}{2}=\frac{2(1 + c)}{2(2 + c)}-\frac{2 + c}{2(2 + c)}=\frac{2(1 + c)-(2 + c)}{2(2 + c)}=\frac{2 + 2c - 2 - c}{2(2 + c)}=\frac{c}{2(2 + c)}$，当$c ＜ - 2$时，$2 + c ＜ 0$，此时$\frac{c}{2(2 + c)}$的分子和分母的值都是负数，
∴$\frac{c}{2(2 + c)}＞0$，
∴$\frac{1 + c}{2 + c}＞\frac{1}{2}$，故选项C正确.当$c ＜ 0$时，$2 + c$可能是正数、负数或0，无法判断$\frac{c}{2(2 + c)}$的正负，即无法比较$\frac{1 + c}{2 + c}$与$\frac{1}{2}$的大小.
名师讲方法 高分技法：比较实数大小的方法
1.差值比较法：$a - b＞0\Leftrightarrow a＞b$；$a - b = 0\Leftrightarrow a = b$；$a - b＜0\Leftrightarrow a ＜ b$.
2.平方、立方比较法：$a＞b(a＞0,b＞0)\Leftrightarrow a^{2}＞b^{2}(a＞0,b＞0)$；$a＞b\Leftrightarrow a^{3}＞b^{3}$.
3.倒数比较法：若$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$，$ab＞0$，则$a ＜ b$.
4.求商比较法：$\frac{a}{b}＞1$，若$b＞0$，则$a＞b$；若$b ＜ 0$，则$a ＜ b$.

16. 如图,等腰三角形AOB中,顶角$\angle AOB = 40^{\circ}$,用尺规按①到④的步骤操作:
①以O为圆心,OA为半径画圆;
②在$\odot O$上任取一点P(不与点A,B重合),连接AP;
③作AB的垂直平分线与$\odot O$交于M,N;
④作AP的垂直平分线与$\odot O$交于E,F.
结论Ⅰ:顺次连接M,E,N,F四点必能得到矩形;
结论Ⅱ:$\odot O$上只有唯一的点P,使得$S_{扇形FOM} = S_{扇形AOB}$.
对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是 (D)


A.Ⅰ和Ⅱ都对
B.Ⅰ和Ⅱ都不对
C.Ⅰ不对Ⅱ对
D.Ⅰ对Ⅱ不对

答案：
16D
∵$OE = OF = OM = ON$，
∴以M，E，N，F为顶点的四边形是矩形(依据:对角线互相平分且相等的四边形是矩形)，故结论Ⅰ正确.由扇形面积公式可知，要使$S_{扇形FOM}=S_{扇形AOB}$，则需$\angle FOM=\angle AOB = 40^{\circ}$，此时$\angle EON=\angle FOM = 40^{\circ}$.连接$OP$.如图
(1)，当点P在MN左侧时，
∵$OA = OB$，$ON\perp AB$，
∴$\angle AON=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×40^{\circ}=20^{\circ}$(依据:等腰三角形“三线合一”).
∵$OP = OA$，$OE\perp AP$，
∴$\angle AOE=\frac{1}{2}\angle AOP$.
∵$\angle EON=\angle AOE+\angle AON=\frac{1}{2}\angle AOP + 20^{\circ}=40^{\circ}$，
∴$\angle AOP = 40^{\circ}$.如图
(2)，当点P在MN右侧时，$\angle EON=\angle AOE-\angle AON=\frac{1}{2}\angle AOP - 20^{\circ}=40^{\circ}$，
∴$\angle AOP = 120^{\circ}$.故使得$S_{扇形FOM}=S_{扇形AOB}$的点P有2个，即结论Ⅱ错误.
　　　

17. 现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图).
(1) 取甲、乙纸片各1块,其面积和为$a^{2}+b^{2}$;
(2) 嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,还需取丙纸片4块.

答案： 17
(1)$a^{2}+b^{2}$
(2)4
【解析】甲纸片、乙纸片、丙纸片的面积分别为$a^{2}$，$b^{2}$，$ab$.
(1)甲、乙纸片各1块，其面积和为$a^{2}+b^{2}$.
(2)
∵$(a + 2b)^{2}=a^{2}+4ab+4b^{2}$，
∴甲纸片1块，乙纸片4块，丙纸片4块，可以拼成一个边长为$a + 2b$的正方形.

18. 如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且$\angle A$,$\angle B$,$\angle E$保持不变.为了舒适,需调整$\angle D$的大小,使$\angle EFD = 110^{\circ}$,则图中$\angle D$应减少(填“增加”或“减少”)10度.

答案：
18减少 10
【解析】
∵$\angle A = 50^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，
∴$\angle DCE=\angle ACB=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$.如图，延长EF交CD于点G，
∵$\angle EGD$是△EGC的外角，
∴$\angle EGD=\angle E+\angle DCE=30^{\circ}+70^{\circ}=100^{\circ}$.当$\angle EFD = 110^{\circ}$时，$\angle D=\angle EFD-\angle EGD=110^{\circ}-100^{\circ}=10^{\circ}$.又
∵$\angle D$原来的度数为$20^{\circ}$，
∴$\angle D$应减少$10^{\circ}$.

19. 用绘图软件绘制双曲线$m:y = \frac{60}{x}$与直线$l:y = a$,且交于一点,图(1)为$a = 8$时的视窗情形.
(1) 当$a = 15$时,l与m的交点坐标为(4,15).
(2) 视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点O始终在视窗中心.
例如,为在视窗中看到(1)中的交点,可将图(1)中坐标系的单位长度变为原来的$\frac{1}{2}$,其可视范围就由$-15 \leqslant x \leqslant 15$及$-10 \leqslant y \leqslant 10$变成了$-30 \leqslant x \leqslant 30$及$-20 \leqslant y \leqslant 20$(如图(2)).
当$a = -1.2$和$a = -1.5$时,l与m的交点分别是点A和B,为能看到m在A和B之间的一整段图象,需要将图(1)中坐标系的单位长度至少变为原来的$\frac{1}{k}$,则整数$k$ = 4.

答案： 19
(1)$(4,15)$
(2)4
【解析】
(1)对于$y=\frac{60}{x}$，令$y = 15$，即$\frac{60}{x}=15$，解得$x = 4$，
∴$l$与$m$的交点坐标为$(4,15)$.
(2)对于$y=\frac{60}{x}$，当$y = - 1.2$时，$x = - 50$；当$y = - 1.5$时，$x = - 40$.故点A，B的坐标分别为$(-50,-1.2)$，$(-40,-1.5)$.分析可知$\frac{1}{k}\leq\frac{15}{50}$，
∴$k\geq\frac{10}{3}$.又
∵$k$为整数，
∴$k = 4$.