《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

23. （本小题满分10分）
新题型 实践操作题情境 图（1）是由正方形纸片去掉一个以中心$O$为顶点的等腰直角三角形后得到的.
该纸片通过裁剪，可拼接为图（2）所示的钻石型五边形，数据如图所示.
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图（1）所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形.
如图（3），嘉嘉沿虚线$EF$，$GH$裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图（4）所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段$EF$的长；
（2）直接写出图（3）中所有与线段$BE$相等的线段，并计算$BE$的长.
探究 淇淇说：将图（1）所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形.
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图（5）所示纸片的$BC$边上找一点$P$（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段$PQ$）的位置，并直接写出$BP$的长.

答案：
23 操作
(1)$EF = 1$. (2分)
解法提示:如图
(1)，连接$AD$，过点$H$作$HM\perp AB$于点$M$.设$MH = a$，则$AH = \sqrt{2}a$.

结合题图
(4)知$HF = OF = HM = a$.
由题意知$AO = \frac{\sqrt{2}}{2}AD = \sqrt{2}$，$\therefore \sqrt{2}a + a + a = \sqrt{2}$，解得$a = \sqrt{2}-1$，$\therefore EF = AF = \sqrt{2}a + a = 1$.
(2)与线段$BE$相等的线段有$GE,GH,AH$. (5分)
由题意知$\angle AFE = 90^{\circ}$,$\angle A = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$,$\therefore AE = \sqrt{2}EF = \sqrt{2}$,$\therefore BE = AB - AE = 2 - \sqrt{2}$. (8分)
探究 答案一:
如图
(2)，$PQ$即为所求作的裁剪线，$BP = \sqrt{2}$. (10分)

答案二:如图
(3)，$PQ$即为所求作的裁剪线，$BP = 2 - \sqrt{2}$. (10分)

24. （本小题满分10分）
某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩$x$（分）换算为报告成绩$y$（分）.已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分.换算规则如下：
当$0\leq x ＜ p$时，$y=\frac{80x}{p}$；
当$p\leq x\leq150$时，$y=\frac{20(x - p)}{150 - p}+80$.
（其中$p$是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）
公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为$p$及$p$以上）为合格.
（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若$p = 100$，求甲、乙的报告成绩.
（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算$p$的值.
（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：

①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率.

答案： 24
(1)将$x = 95$代入$y = \frac{80x}{100}$，得$y = 76$，故甲的报告成绩为76分。 (2分)
将$x = 130$代入$y = \frac{20(x - 100)}{150 - 100}+80$，得$y = 92$，故乙的报告成绩为92分。 (4分)
(2)$\because 92 ＞ 80$，$\therefore$当$y = 92$时，$\frac{20(x_{丙}-p)}{150 - p}+80 = 92$，得$x_{丙}=90+\frac{2}{5}p$. (5分)
$\because 64 ＜ 80$，$\therefore$当$y = 64$时，$\frac{80x_{丁}}{p}=64$，得$x_{丁}=\frac{4}{5}p$. (6分)
$\because x_{丙}-x_{丁}=40$，$\therefore 90+\frac{2}{5}p-\frac{4}{5}p = 40$，解得$p = 125$. (7分)
一题多解：设丁的原始成绩为$a$分，则丙的原始成绩为$(a + 40)$分。
$\because$丙的报告成绩大于80分，丁的报告成绩小于80分，$\therefore$丙的原始成绩大于$p$分，丁的原始成绩小于$p$分，$\therefore 64=\frac{80a}{p}$ ①，$92=\frac{20(a + 40 - p)}{150 - p}+80$ ②。
由①得$a=\frac{4}{5}p$ ③。
将③代入②，得$92=\frac{20(\frac{4p}{5}+40 - p)}{150 - p}+80$，$\therefore p = 125$.
(3)①中位数为130分。 (9分)
②合格率为$95\%$. (10分)
解法提示:$\because$原始成绩130分换算成报告成绩为90分，$90$分$＞ 80$分，$\therefore 90=\frac{20(130 - p)}{150 - p}+80$，解得$p = 110$，$\therefore$原始成绩的合格分数线是110分。
由表格可知原始成绩在110分及110分以上的人数为$100-(1 + 2 + 2)=95$，$\therefore$该公司此次测试的合格率为$\frac{95}{100}× 100\% = 95\%$.
名师讲方法
解题突破
解决本题的关键是先明确“当报告成绩大于80分时，原始成绩大于$p$；当报告成绩小于80分时，原始成绩小于$p$”，再根据报告成绩或原始成绩的具体数值，代入相应的式子求解。