《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

20. （本小题满分8分）
丹凤朝阳是坐落于唐山市南湖景区的一座巨型雕塑. 在某校科技小组实践活动中，淇淇借助无人机测量雕塑AB的高度，采用如下的测量方案：
如图，淇淇在离雕塑水平距离AC为30m的台阶上升起无人机，无人机首次悬停在点C正上方的点D处，测得雕塑AB的顶部B处的俯角α的正切值是$\frac{1}{2}$，此时无人机离地面的高度CD为85m，之后无人机沿水平方向匀速飞行至点G. 已知淇淇的眼睛离地面的高度CF = 5m.
（1）求雕塑AB的高度.
（2）若无人机的速度为10m/s，飞行时间为t s.
①当t = 2时，求$\sin∠GFD$的值；
②直接写出无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线时，t的取值范围.

答案：
20
(1)如图
(1)，延长$AB$交射线$DG$于点$H$。

∴$DG// AC$，
∴$\angle BHD = 180° - \angle HAC = 90°$。
又
∵$\angle CDH = \angle DCA = 90°$，
∴四边形$ACDH$为矩形，
∴$DH = AC = 30$，$AH = CD = 85$。
∵$\tan\angle BDH = \frac{1}{2}$，
∴$BH = \frac{1}{2}HD = 15$，
∴$AB = AH - BH = 85 - 15 = 70$。
答：雕塑$AB$的高度为70 m。
(2)①
∵$CD = 85$，$CF = 5$，
∴$DF = 85 - 5 = 80$。
由题意知$GD = 10×2 = 20$。
在$Rt\triangle GDF$中，$GF = \sqrt{20^2 + 80^2}=20\sqrt{17}$，
∴$\sin\angle GFD = \frac{20}{20\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$。
②$t\geqslant\frac{48}{13}$
解法提示：如图
(2)，连接$FB$并延长交射线$DG$于点$P$，当无人机飞行至点$P$时，无人机开始被遮挡。

过点$F$作$FQ\perp AB$于点$Q$，则$FQ// AC$，$FQ = AC = 30$，$AQ = CF = 5$，
∴$BQ = AB - AQ = 65$。
∵$DP// AC// FQ$，
∴$\triangle BPH\sim\triangle BFQ$（点拨：“X”型相似模型），
∴$\frac{PH}{QF}=\frac{BH}{BQ}$，即$\frac{PH}{30}=\frac{15}{65}$，
∴$PH = \frac{90}{13}$，
∴$DP = 30 + \frac{90}{13}=\frac{480}{13}$。
∵$\frac{480}{13}÷10=\frac{48}{13}$，
∴$t$的取值范围是$t\geqslant\frac{48}{13}$。

21. （本小题满分9分）
已知排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m. 某运动员发球时，排球出手后的运动路径可以看作是抛物线的一部分，以地面为x轴，出手位置所在竖线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）该运动员第一次发球时，排球出手位置距地面2.4m，排球在离发球点的水平距离4m时达到最高2.88m，如图.
①求排球运动路径的抛物线解析式；
②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网.
（2）如果该运动员第二次采用跳起发球的方式，出手的角度和力度均不变，仅出手位置上升了0.36m，请问该运动员此次发球，球是否落在对方界内？并说明理由.

答案：
21
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第一步：提炼信息
将获取的长度信息在图中标注出来，从而得到相关点的坐标信息，如下图。

(1)①由题意得抛物线的顶点坐标为$(4,2.88)$，
∴设抛物线的解析式为$y = a(x - 4)^2 + 2.88$（点拨：已知顶点，设顶点式），
把$(0,2.4)$代入，得$16a + 2.88 = 2.4$，解得$a = -0.03$，
∴抛物线的解析式为$y = -0.03(x - 4)^2 + 2.88$。
②当$x = 9$时，$y = -0.03×(9 - 4)^2 + 2.88 = 2.13$。
∵$2.13 ＜ 2.24$，
∴该运动员第一次发球不能过网。
(2)该运动员此次发球，球能落在对方界内。
理由：
∵出手的角度和力度均不变（信息点：抛物线的开口方向、开口大小均不变，故两抛物线解析式的二次项系数相同），
∴$y = -0.03(x - 4)^2 + 2.88 + 0.36 = -0.03(x - 4)^2 + 3.24$。
令$x = 9$，则$y = -0.03×(9 - 4)^2 + 3.24 = 2.49 ＞ 2.24$（点拨：说明点$(9,2.24)$在平移后的抛物线下方），
∴球能过网（注：此为球能落在对方界内的第一个条件）。
令$y = 0$，即$-0.03(x - 4)^2 + 3.24 = 0$，
解得$x_1 = 4 - 6\sqrt{3}$（舍去），$x_2 = 4 + 6\sqrt{3}$。
∵$4 + 6\sqrt{3} ＜ 18$（提示：比较两者大小，即比较$6\sqrt{3}$与14的大小），
∴球落在右边界左侧（注：此为球能落在对方界内的第二个条件）。
答：该运动员此次发球，球能落在对方界内。
名师碎碎念：将实际问题转化为数学问题之前，注意要全面分析实际情境，如第
(2)问球能落在对方界内必须满足两个条件，不要漏掉球能过网这一条件。