《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 函数 $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{\log_{2}x - 1}} $ 的定义域为(C)

A.$ (0,2) $
B.$ (0,2] $
C.$ (2,+\infty) $
D.$ [2,+\infty) $

答案： 1.C　若函数f(x)有意义，则$\begin{cases} \log_{2}x - 1 ＞ 0, \\ x ＞ 0, \end{cases}$即$\begin{cases} \log_{2}x ＞ 1, \\ x ＞ 0, \end{cases}$解得$x ＞ 2$。
$\therefore$函数f(x)的定义域为$(2, +\infty)$。

2. 下列三个数：$ a = \ln\frac{2}{3} $，$ b = -\log_{3}\frac{3}{2} $，$ c = (\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}} $，大小顺序正确的是(B)

A.$ c ＞ a ＞ b $
B.$ c ＞ b ＞ a $
C.$ b ＞ a ＞ c $
D.$ a ＞ b ＞ c $

答案： 2.B　$\because 0 = \log_{3}1 ＞ b = -\log_{3}\frac{3}{2} = \log_{3}\frac{2}{3} ＞ a = \ln\frac{2}{3}$，$c = (\frac{2}{3})^{-1} ＞ 0$，$\therefore c ＞ b ＞ a$。

3. 设 $ f(x) $ 是奇函数，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ f(x) = \log_{2}x $，则当 $ x ＜ 0 $ 时，$ f(x) $ 的解析式为(C)

A.$ -\log_{2}x $
B.$ \log_{2}(-x) $
C.$ -\log_{2}(-x) $
D.$ \log_{x}2 $

答案： 3.C　当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，$f(-x) = \log_{2}(-x)$。
又因为$f(x)$为奇函数，所以$f(-x) = -f(x)$，所以$f(x) = -f(-x)$，所以$f(x) = -\log_{2}(-x)$。

4. 函数 $ f(x) = \lg|x| $ 为(D)

A.奇函数，在区间 $ (0,+\infty) $ 上单调递减
B.奇函数，在区间 $ (0,+\infty) $ 上单调递增
C.偶函数，在区间 $ (-\infty,0) $ 上单调递增
D.偶函数，在区间 $ (-\infty,0) $ 上单调递减

答案： 4.D　已知函数的定义域为$(-\infty,0) \cup (0, +\infty)$，关于坐标原点对称，且$f(-x) = \lg|-x| = \lg|x| = f(x)$，所以它是偶函数；当$x ＞ 0$时，$f(x) = \lg x$在区间$(0, +\infty)$上单调递增，又因为$f(x)$为偶函数，所以$f(x) = \lg|x|$在区间$(-\infty,0)$上单调递减。

5. 某企业 2024 年全年投入研发资金 150 万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长 $ 8\% $，则该企业全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(C)(参考数据：$ \lg1.08 \approx 0.033 $，$ \lg2 \approx 0.301 $，$ \lg3 \approx 0.477 $)

A.2026 年
B.2027 年
C.2028 年
D.2029 年

答案： 5.C　设经过$n$年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则$150 × (1 + 8\%)^{n} ＞ 200$，则$n ＞ \frac{\lg2 - \lg3}{\lg1.08} \approx \frac{0.602 - 0.477}{0.033} \approx 3.8$，取$n = 4$，则经过4年后是2028年。

6. (多选)任取 $ x_{1},x_{2} \in [a,b] $，且 $ x_{1} \neq x_{2} $，若 $ f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) ＞ \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2} $ 恒成立，则 $ f(x) $ 称为 $ [a,b] $ 上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是(BCD)

A.$ y = 2^{x} $
B.$ y = \log_{2}x $
C.$ y = -x^{2} $
D.$ y = x^{\frac{1}{2}} $

答案： 6.BCD　分别画出$y = 2^{x}$，$y = \log_{2}x$，$y = -x^{2}$，$y = x^{\frac{1}{2}}$的图象，观察可知$y = \log_{2}x$，$y = -x^{2}$，$y = x^{\frac{1}{2}}$为凸函数。

7. 函数 $ f(x)=\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{\ln x} $ 的定义域为(0,1) ∪ (1,2].

答案： 7.$(0,1) \cup (1,2]$ 由$\begin{cases} 4 - x^{2} \geq 0, \\ x ＞ 0, \\ \ln x \neq 0, \end{cases}$得$0 ＜ x \leq 2$，且$x \neq 1$。
$\therefore$函数$f(x) = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{\ln x}$的定义域为$(0,1) \cup (1,2]$。

8. 设 $ a ＞ 1 $，函数 $ f(x) = \log_{a}x $ 在区间 $ [a,2a] $ 上的最大值与最小值之差为 $ \frac{1}{2} $，则 $ a = $4.

答案： 8.4　$\because a ＞ 1$，$\therefore f(x) = \log_{a}x$在$[a,2a]$上单调递增，
$\therefore \log_{a}(2a) - \log_{a}a = \frac{1}{2}$，即$\log_{a}2 = \frac{1}{2}$，$\therefore a^{\frac{1}{2}} = 2$，$a = 4$。

9. 已知 $ f(x) = \lg(2 + x) + \lg(2 - x) $.
（1）求函数 $ f(x) $ 的定义域；
（2）判断函数 $ f(x) $ 的奇偶性，并加以证明；
（3）求 $ f(\sqrt{3}) $ 的值.

答案： 9.解　
(1)由$\begin{cases} 2 + x ＞ 0, \\ 2 - x ＞ 0, \end{cases}$得$-2 ＜ x ＜ 2$，所以函数$f(x)$的定义域为$\{x|-2 ＜ x ＜ 2\}$。
(2)$f(x)$为偶函数，证明如下：因为函数$f(x)$的定义域为$\{x|-2 ＜ x ＜ 2\}$，关于原点对称，又$f(-x) = \lg[2 + (-x)] + \lg[2 - (-x)] = \lg(2 - x) + \lg(2 + x) = f(x)$，所以函数$f(x) = \lg(2 + x) + \lg(2 - x)$为偶函数。
(3)$f(\sqrt{3}) = \lg(2 + \sqrt{3}) + \lg(2 - \sqrt{3}) = \lg[(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})] = \lg1 = 0$。