《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 设集合 $ A = \{ x | x ^ { 2 } - 8 x + 15 = 0 \}, B = \{ x | a x - 1 = 0 \} $。
(1)若 $ a = \frac { 1 } { 5 } $,试判定集合 $ A $ 与 $ B $ 的关系;
(2)若 $ B \subseteq A $,求实数 $ a $ 组成的集合 $ C $。

答案： 10.解$ (1)A={x∣x^2−8x+15=0}={5,3}，$
当$a=\frac{1}{5}$时，B={5}，元素5是集合A={5,3}中的元素，
集合A={5,3}中除元素5外，还有元素3,3不在集合B中，所以
⊊A。
(2)当a=0时，由题意得B=∅，又A={3,5}，故B⊆A；
当a≠0时，$B={\frac{1}{a}}，$又A={3,5}，B⊆A，此时$\frac{1}{a}=3$或$\frac{1}{a}=5$
则有$a=\frac{1}{3}$或$a=\frac{1}{5}。$
所以$C={0,\frac{1}{3},\frac{1}{5}}。$

11. 已知集合 $ A = \{ a$${ 1 }, a$${ 2 }, a$${ 3 } \} $ 的所有非空真子集的元素之和等于 9,则 $ a$${ 1 } + a$${ 2 } + a$${ 3 } $ 等于 (C)

A.1
B.2
C.3
D.6

答案： 11.C 集合$A={a_1,a_2,a_3}$的所有非空真子集有：${a_1}，$${a_1,a_2}，${$a_1$
$a_3$}，${a_2}，$${a_2,a_3}，$${a_3}，$故$3(a_1+a_2+a_3)=9，$即$a_1+a_2+a_3=3。$

12. (多选)集合 $ A = \{ x | ( a - 1 ) x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0 \} $ 有且仅有两个子集,则 $ a $ 的值为 (AD)

A.1
B.$ \frac { 1 } { 8 } $
C.- 1
D.$ - \frac { 1 } { 8 } $

答案： 12.AD 由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，
当a=1时，满足题意。
当a≠1时，
由Δ=9+8(a−1)=0可得$a=−\frac{1}{8}。$

13. 设集合 $ A = \{ - 1,1 \} $,集合 $ B = \{ x | x ^ { 2 } - 2 a x + 1 = 0 \} $,若 $ B \neq \varnothing, B \subseteq A $,则 $ a $ 等于 (D)

A.- 1
B.0
C.1
D.$ \pm 1 $

答案： 13.D
∵B≠∅，B⊆A，
∴B={−1}或B={1}或B={1,−1}，
当B={−1}时，$x^2−2ax+1=0$有两个相等的实根−1，即a=−1
当B={1}时，$x^2−2ax+1=0$有两个相等的实根1，即a=1；
当B={−1,1}时，不成立。
故a=±1。

14. 已知非空集合 $ P $ 满足:(1)$ P \subseteq \{ 1,2,3,4,5 \} $;(2)若 $ a \in P $,则 $ 6 - a \in P $。符合上述条件的集合 $ P $ 的个数为7_ 。

答案： 14.7 由a∈P,6−a∈P，且P⊆{1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值
面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一
出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4
{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个。

15. 已知集合 $ A = \{ x \in \mathbf { R } | a x ^ { 2 } - 3 x - 4 = 0 \} $。
(1)若集合 $ A $ 中有两个元素,求实数 $ a $ 的取值范围;
(2)若集合 $ A $ 最多有两个子集,求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 15.解
(1)由于A中有两个元素，
关于x的方程$ax^2−3x−4=0$有两个不等的实数根，
∴Δ=9+16a＞0，且a≠0，即$a＞−\frac{9}{16}，$且a≠0。
故实数a的取值范围是${a∣a＞−\frac{9}{16}，且a≠0}。$
(2)集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素，
即方程$ax^2−3x−4=0$无解或只有一解，
当a=0时，方程为−3x−4=0，解得$x=−\frac{4}{3}，$集合$A={−\frac{4}{3}}；$
当a≠0时，若关于x的方程$ax^2−3x−4=0$有两个相等的实数根，
则A中只有一个元素，此时Δ=9+16a=0，解得$a=−\frac{9}{16}；$
若关于x的方程$ax^2−3x−4=0$没有实数根，则A中没有元素，此
时a＜−\frac{9}{16}。
综上可知，实数a的取值范围是${a∣a⩽−\frac{9}{16}或a=0}。$