《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(B)

答案： 1.B　因为火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B。

2. 著名的 Dirichlet 函数 $ D(x)=\left\{\begin{array}{l} 1,x 为有理数,\\ 0,x 为无理数,\end{array}\right. $ 则 $ D(D(x)) $ 等于( )

A.0
B.1
C.$\left\{\begin{array}{l} 1,x 为无理数,\\ 0,x 为有理数\end{array}\right.$
D.$\left\{\begin{array}{l} 1,x 为有理数,\\ 0,x 为无理数\end{array}\right.$

答案： 2.B
∵D(x)∈{0,1}，
∴D(x)为有理数，
∴D(D(x))=1。

3. 函数 $ y = f(x) $ 的图象如图所示，观察图象可知函数 $ y = f(x) $ 的定义域、值域分别是(C)


A.$[-5,0]\cup [2,6)$，$[0,5]$
B.$[-5,6)$，$[0,+\infty)$
C.$[-5,0]\cup [2,6)$，$[0,+\infty)$
D.$[-5,+\infty)$，$[2,5]$

答案： 3.C　由图象可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，即[-5,0]∪[2,6)，值域即为因变量的取值范围，即[0,+∞)。

4. 设 $ x\in \mathbf{R} $，定义符号函数 $ sgnx=\left\{\begin{array}{l} 1,x＞0,\\ 0,x = 0,\\ -1,x＜0,\end{array}\right. $ 则函数 $ f(x)=|x|sgnx $ 的图象大致是( )

答案： 4.C　由题意知$f(x)=\begin{cases}x,x＞0,\\0,x=0,\\x,x＜0,\end{cases}$
则f(x)的图象为C中图象所示。

5. 设函数 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1 - x^{2},x\leqslant 1,\\ x^{2}+x - 2,x＞1,\end{array}\right. $ 则 $ f\left(\frac{1}{f(2)}\right) $ 的值为( )

A.$\frac{15}{16}$
B.$-\frac{27}{16}$
C.$\frac{8}{9}$
D.18

答案： 5.A　当x＞1时，$f(x)=x^{2}+x - 2，$
则$f(2)=2^{2}+2 - 2=4，$
∴$\frac{1}{f(2)}=\frac{1}{4}，$
当x≤1时，$f(x)=1 - x^{2}，$
∴$f(\frac{1}{f(2)})=f(\frac{1}{4})=1 - \frac{1}{16}=\frac{15}{16}。$

6. 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过 10 立方米的，按每立方米 $ m $ 元收费；用水量超过 10 立方米的，超过部分按每立方米 $ 2m $ 元收费。某职工某月缴水费 $ 16m $ 元，则该职工这个月实际用水量为(A)

A.13 立方米
B.14 立方米
C.18 立方米
D.26 立方米

答案： 6.A　该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为$y=\begin{cases}mx,0\leqslant x\leqslant10,\\2mx - 10m,x＞10.\end{cases}$
由y=16m，可知x＞10。
令2mx - 10m=16m，解得x=13。

7. 某商品的单价为 5 000 元，若一次性购买超过 5 件，但不超过 10 件时，每件优惠 500 元；若一次性购买超过 10 件，则每件优惠 1 000 元。某单位购买 $ x $ 件 $ (x\in \mathbf{N}^{*},x\leqslant 15) $，设总购买费用是 $ f(x) $ 元，则 $ f(x) $ 的解析式是。

答案： $7.f(x)=\begin{cases}5000x,x\in\{1,2,3,4,5\},\\4500x,x\in\{6,7,8,9,10\},\\4000x,x\in\{11,12,13,14,15\}\end{cases} $当$x≤5,x∈N^{*}$时，f(x)=5000x；当5＜x≤10,x∈N^{*}时，f(x)=(5000 - 500)x=4500x；当10＜x≤15,x∈N^{*}时，f(x)=(5000 - 1000)x=4000x。