《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知命题 $ p $：$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}-2x + m = 0 $，命题 $ q $：$ -2 \lt m \lt 2 $. 若命题 $ p $，$ q $ 一真一假，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 10.解 由p是真命题，得$\Delta = 4 - 4m \geq 0$，所以$m \leq 1$.
则$\begin{cases}m \leq 1,\\m \geq 2或m \leq -2,\end{cases}$解得$m \leq -2$；
若p为假命题，q为真命题，则$\begin{cases}m ＞ 1,\\-2 ＜ m ＜ 2,\end{cases}$解得$1 ＜ m ＜ 2$.
所以实数m的取值范围为$\{m\mid m \leq -2或1 ＜ m ＜ 2\}$.

11.(多选)下列命题的否定是假命题的是(ACD)

A.等圆的面积相等，周长相等
B.$ \forall x \in \mathbf{N} $，$ x^{2} \geq 1 $
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.有些梯形的对角线相等

答案： 11.ACDA 的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题；
B的否定：$\exists x \in \mathbf{N}$，$x^{2} ＜ 1$，真命题；
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；
D的否定：所有梯形的对角线都不相等.等腰梯形的对角线相等，假命题.

12. 已知命题 $ p $：$ \exists x \gt 0 $，$ x + a - 1 = 0 $ 为假命题，则实数 $ a $ 的取值范围是(B)

A.$ a \gt 1 $
B.$ a \geq 1 $
C.$ a \lt 1 $
D.$ a \leq 1 $

答案： 12.B 因为命题p：$\exists x ＞ 0$，$x + a - 1 = 0$为假命题，所以$\neg p$：$\forall x ＞ 0$，$x + a - 1 \neq 0$是真命题，即$x \neq 1 - a$，所以$1 - a \leq 0$，即$a \geq 1$.所以a的取值范围为$a \geq 1$.

13. 已知命题 $ p $：“存在 $ 0 \leq x_{1} \leq 3 $，对任意 $ \frac{1}{4}-m \leq x_{2} \leq 2 $，使得 $ x_{1} \lt x_{2} $”为假命题，则实数 $ m $ 的取值范围是$m \geq \frac{1}{4}$.

答案： 13.$m \geq \frac{1}{4}$ 命题p的否定为：“任意$0 \leq x_1 \leq 3$，存在$\frac{1}{4} - m \leq x_2 \leq 2$，使得$x_1 \geq x_2$”为真命题，等价于$(x_1)_{\min} \geq (x_2)_{\min}$，得$0 \geq \frac{1}{4} - m$，所以$m \geq \frac{1}{4}$.

14. 命题“$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ \exists n \in \mathbf{N}^{*} $，使得 $ n \geq 2x + 1 $”的否定形式是(D)

A.$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ \exists n \in \mathbf{N}^{*} $，使得 $ n \lt 2x + 1 $
B.$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ \forall n \in \mathbf{N}^{*} $，使得 $ n \lt 2x + 1 $
C.$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ \exists n \in \mathbf{N}^{*} $，使得 $ n \lt 2x + 1 $
D.$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ \forall n \in \mathbf{N}^{*} $，使得 $ n \lt 2x + 1 $

答案： 14.D 由题意可知，全称量词命题“$\forall x \in \mathbf{R}$，$\exists n \in \mathbf{N}^{*}$，使得$n ＜ 2x + 1$”的否定形式为存在量词命题“$\exists x \in \mathbf{R}$，$\forall n \in \mathbf{N}^{*}$，使得$n \geq 2x + 1$”.

15. 已知集合 $ A = \{x|6 \leq x \leq 20\} $，集合 $ B = \{x|x \leq 2a\} $，命题 $ p $：$ \exists x \in A $，$ x \in B $，命题 $ q $：$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}+2x - a \gt 0 $.
（1）若命题 $ p $ 为假命题，求实数 $ a $ 的取值范围；
（2）若命题 $ p $ 和命题 $ q $ 至少有一个为真命题，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 15.解
(1)若命题p为真命题，则$A \cap B \neq \varnothing$，所以$2a \geq 6$，所以$a \geq 3$，所以当命题p为假命题时，a的取值范围为$\{a\mid a ＜ 3\}$.
(2)当命题q为假命题时，即“$\exists x \in \mathbf{R}$，$x^{2}+2x - a \leq 0$”为真命题，所以$\Delta = 4 + 4a \geq 0$，解得$a \geq -1$，所以a的取值范围为$\{a\mid a \geq -1\}$，所以当命题p，q均为假命题时，a的取值范围为$\{a\mid a ＜ 3\} \cap \{a\mid a \geq -1\} = \{a\mid -1 \leq a ＜ 3\}$，所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时，a的取值范围为$\{a\mid a ＜ -1或a \geq 3\}$.