《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. （1）已知 $ x\lt \frac{5}{4} $，求 $ y=4x-2+\frac{1}{4x-5} $ 的最大值；
（2）已知 $ 0\lt x\lt \frac{1}{2} $，求 $ y=\frac{1}{2}x(1-2x) $ 的最大值。

答案： 10.解
(1)$\because x ＜ \frac{5}{4}$，$\therefore 5 - 4x ＞ 0$，
$\therefore y = 4x - 2 + \frac{1}{4x - 5} = -(5 - 4x + \frac{1}{5 - 4x}) + 3 \leq -2 + 3 = 1$，
当且仅当$5 - 4x = \frac{1}{5 - 4x}$，即$x = 1$时，上式等号成立，
故当$x = 1$时，$y_{max} = 1$.
(2)$\because 0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$，$\therefore 1 - 2x ＞ 0$，
$\therefore y = \frac{1}{4} × 2x(1 - 2x) \leq \frac{1}{4} × (\frac{2x + 1 - 2x}{2})^2 = \frac{1}{4} × \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$，
当且仅当$2x = 1 - 2x(0 ＜ x ＜ \frac{1}{2})$，
即$x = \frac{1}{4}$时，上式等号成立，
故当$x = \frac{1}{4}$时，$y_{max} = \frac{1}{16}$.

11. (多选)一个矩形的周长为 $ l $，面积为 $ S $，则下列四组数对中，可作为数对 $ (S,l) $ 的有(AC)

A.$ (1,4) $
B.$ (6,8) $
C.$ (7,12) $
D.$ \left(3,\frac{1}{2}\right) $

答案： 11.AC 设矩形的长和宽分别为$x$，$y$，
则$x + y = \frac{1}{2}l$，$S = xy$.
由$xy \leq (\frac{x + y}{2})^2$知，$S \leq \frac{l^2}{16}$，故A,C成立.

12. 若 $ 0\lt x\lt 4 $，则 $ \sqrt{x(4-x)} $ 有(B)

A.最小值 0
B.最大值 2
C.最大值 $ \sqrt{3} $
D.不能确定

答案： 12.B 由基本不等式$\sqrt{x(4 - x)} \leq \frac{x + 4 - x}{2} = 2$，当且仅当$x = 4 - x$，即$x = 2$时等号成立，故最大值为$2$.

13. 已知 $ x\gt 0,y\gt 0 $，且 $ x+2y=4 $，则 $ (1+x)(1+2y) $ 的最大值为(B)

A.16
B.9
C.4
D.36

答案： 13.B $(1 + x)(1 + 2y) \leq [\frac{(1 + x) + (1 + 2y)}{2}]^2 = (\frac{2 + x + 2y}{2})^2 = 9$，
当且仅当$1 + x = 1 + 2y$，即$x = 2$，$y = 1$时，等号成立，故所求最大值为$9$.

14. 已知 $ x\gt 0,y\gt 0,2x+3y=6 $，则 $ xy $ 的最大值为$\frac{3}{2}$。

答案： 14.$\frac{3}{2}$ 因为$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$2x + 3y = 6$，
所以$xy = \frac{1}{6}(2x · 3y) \leq \frac{1}{6} × (\frac{2x + 3y}{2})^2 = \frac{3}{2}$，
当且仅当$2x = 3y$，即$x = \frac{3}{2}$，$y = 1$时，$xy$取得最大值为$\frac{3}{2}$.

15. 已知实数 $ a\gt b\gt 0 $，
（1）比较 $ b(a-b) $ 与 $ \frac{a^{2}}{4} $ 的大小；
（2）求 $ a^{2}+\frac{25}{b(a-b)} $ 的最小值及取最小值时 $ a,b $ 的值。

答案： 15.解
(1)$\because a ＞ b ＞ 0$，$\therefore a - b ＞ 0$，
$\therefore b(a - b) \leq [\frac{b + (a - b)}{2}]^2 = \frac{a^2}{4}$，当且仅当$b = a - b$，即$2b = a$时，等号成立.
$\therefore b(a - b) \leq \frac{a^2}{4}$.
(2)由
(1)知$0 ＜ b(a - b) \leq \frac{a^2}{4}$，当且仅当$2b = a$时等号成立，
$\therefore \frac{1}{b(a - b)} \geq \frac{4}{a^2}$，
$\therefore a^2 + \frac{25}{b(a - b)} \geq a^2 + \frac{100}{a^2} \geq 2\sqrt{a^2 · \frac{100}{a^2}} = 20$，
当且仅当$a^2 = \frac{100}{a^2}$且$2b = a$，
即$a = \sqrt{10}$，$b = \frac{\sqrt{10}}{2}$时取等号.
综上可知，当$a = \sqrt{10}$，$b = \frac{\sqrt{10}}{2}$时，$a^2 + \frac{25}{b(a - b)}$取得最小值$20$.