《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 函数 $ y = \log_a(x - 1)(0 ＜ a ＜ 1) $ 的图象大致是(A)

答案： 1.A $\because0＜a＜1,\therefore y=\log_ax$在$(0,+\infty)$上单调递减，故排除C,D;
又函数$y=\log_a(x - 1)$的图象是由$y=\log_ax$的图象向右平移$1$个单位长度得到的，故A正确。

2. 若 $ a = 2^{0.2},b = \log_43.2,c = \log_20.5 $，则(A)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ c ＞ a ＞ b $
D.$ b ＞ c ＞ a $

答案： 2.A $\because a = 2^{0.2}＞1＞b=\log_43.2＞0＞c = - 1$，
$\therefore a＞b＞c$。

3. 设 $ a = \log_37,b = 2^{1.1},c = 0.8^{3.1} $，则(B)

A.$ b ＜ a ＜ c $
B.$ c ＜ a ＜ b $
C.$ c ＜ b ＜ a $
D.$ a ＜ c ＜ b $

答案： 3.B $\because a=\log_37,\therefore1＜a＜2.\because b = 2^{1.1},\therefore b＞2$。
$\because c = 0.8^{3.1},\therefore0＜c＜1.$即$c＜a＜b$。

4. 函数 $ f(x) = \log_ax(0 ＜ a ＜ 1) $ 在 $ [a^2,a] $ 上的最大值是(C)

A.0
B.1
C.2
D.$ a $

答案： 4.C $\because0＜a＜1,\therefore f(x)=\log_ax$在$[a^2,a]$上单调递减，$\therefore f(x)_{\max}=$
$f(a^2)=\log_aa^2 = 2$。

5. 函数 $ f(x) = \lg(|x| - 1) $ 的大致图象是(B)

答案： 5.B 由$f(x)$的定义域为$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$，且$f(-x)=\lg(| - x|-1)=\lg(|x|-1)=f(x)$，得$f(x)$是偶函数，由此知C,D错误；
又当$x＞1$时，$f(x)=\lg(x - 1)$在$(1,+\infty)$上单调递增，所以B
正确。

6. (多选)已知 $ a ＞ 0,b ＞ 0 $，且 $ ab = 1,a \neq 1 $，则函数 $ f(x) = a^x $ 与函数 $ g(x) = -\log_bx $ 在同一坐标系中的图象可能是(AB)

答案： 6.AB $\because g(x)=-\log_ax=\log_{\frac{1}{a}}x=\log_ax^{-1}$
$\therefore f(x)$和$g(x)$的单调性相同，
结合选项可知A,B正确。

7. 函数 $ y = \log_a(x - 4) + 2(a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1) $ 恒过定点(5,2)_ 。

答案： 7.(5,2) 令$x - 4 = 1$得$x = 5$，此时$y=\log_a1 + 2 = 2$，
所以函数$y=\log_a(x - 4)+2$恒过定点(5,2)。

8. 若正实数 $ x,y $ 满足 $ x + y = 1 $，则 $ \log_2x + \log_2y $ 的最大值为-2_ 。

答案： 8.-2 因为正实数$x,y$满足$x + y = 1$，则$0＜xy\leq(\frac{x + y}{2})^2=\frac{1}{4}$，当
且仅当$x = y=\frac{1}{2}$时取“$=$”，
因为函数$f(t)=\log_2t$在$(0,+\infty)$上单调递增，于是得$\log_2x+\log_2y$
$=\log_2(xy)\leq\log_2\frac{1}{4}=-2$，
所以当$x = y=\frac{1}{2}$时，$\log_2x+\log_2y$的最大值为-2。

9. 比较下列各组中两个值的大小：
(1) $ \ln0.3,\ln2 $；
(2) $ \log_a3.1,\log_a5.2(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $；
(3) $ \log_30.2,\log_40.2 $；
(4) $ \log_3\pi,\log_\pi3 $。

答案： 9.解
(1)因为函数$y=\ln x$在$(0,+\infty)$上是增函数，
又$0.3＜2$，所以$\ln0.3＜\ln2$。
(2)当$a＞1$时，函数$y=\log_ax$在$(0,+\infty)$上是增函数，
又$3.1＜5.2$，所以$\log_a3.1＜\log_a5.2$；
当$0＜a＜1$时，函数$y=\log_ax$在$(0,+\infty)$上是减函数，
又$3.1＜5.2$，所以$\log_a3.1＞\log_a5.2$。
综上所述，当$a＞1$时，$\log_a3.1＜\log_a5.2$；
当$0＜a＜1$时，$\log_a3.1＞\log_a5.2$。
(3)因为$0＞\log_{0.2}3＞\log_{0.2}4$，
所以$\frac{1}{\log_{0.2}3}＜\frac{1}{\log_{0.2}4}$，
即$\log_30.2＜\log_40.2$。
(4)因为函数$y=\log_3x$在$(0,+\infty)$上是增函数，又$\pi＞3$，
所以$\log_3\pi＞\log_33 = 1$。
同理，$1=\log_\pi\pi＞\log_\pi3$，所以$\log_3\pi＞\log_\pi3$。