《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知 $ f(x) = |\lg x| $，且 $ \frac{1}{c} ＞ a ＞ b ＞ 1 $，试借助图象比较 $ f(a),f(b),f(c) $ 的大小。

答案： 10.解 先作出函数$y=\lg x$的图象，再将图象位于$x$轴下方的部分以$x$
轴为对称轴翻折到$x$轴上方，于是得$f(x)=|\lg x|$的图象(如图)，由图
象可知，$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。
由$\frac{1}{c}＞a＞b＞1$得$f(\frac{1}{c})＞f(a)＞f(b)$，
又$f(\frac{1}{c})=|\lg\frac{1}{c}|=| - \lg c|=|\lg c| = f(c)$。
$\therefore f(c)＞f(a)＞f(b)$。

11. 若函数 $ f(x) = \log_a(x + b) $ 的图象如图所示，其中 $ a,b $ 为常数，则函数 $ g(x) = a^x + b $ 的图象大致是(D)

答案： 11.D 由$f(x)$的图象可知$0＜a＜1,0＜b＜1$，
$\therefore g(x)$的图象应为D。

12. 设偶函数 $ f(x) = \log_a|x - b| $ 在 $ (-\infty,0) $ 上单调递增，则 $ f(a + 1) $ 与 $ f(b + 2) $ 的大小关系是(D)

A.$ f(a + 1) ＜ f(b + 2) $
B.$ f(a + 1) \leq f(b + 2) $
C.$ f(a + 1) \geq f(b + 2) $
D.$ f(a + 1) ＞ f(b + 2) $

答案： 12.D 因为函数$f(x)$是偶函数，所以$b = 0$，
又函数在$(-\infty,0)$上单调递增，则$0＜a＜1$，所以$1＜a + 1＜2$。
因为$f(a + 1)=\log_a|a + 1|,f(b + 2)=\log_a2$，
且$1＜a + 1＜2$，
所以$f(a + 1)＞f(b + 2)$。

13. 已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，且在 $ [0,+\infty) $ 上单调递增，$ f(\frac{1}{3}) = 0 $，则不等式 $ f(\log_{\frac{1}{8}}x) ＞ 0 $ 的解集为(0,\frac{1}{3})\cup(2,+\infty)_ 。

答案： 13.$(0,\frac{1}{3})\cup(2,+\infty)$ $\because f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，
$\therefore$它的图象关于$y$轴对称。
$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，
$\therefore f(x)$在$(-\infty,0]$上单调递减，
由$f(\frac{1}{3}) = 0$，得$f(-\frac{1}{3}) = 0$，则函数的大致图象如图所示。
$\therefore f(\log_{\frac{1}{3}}x)＞0\Rightarrow\log_{\frac{1}{3}}x＜-\frac{1}{3}$或$\log_{\frac{1}{3}}x＞\frac{1}{3}$
解得$x＞2$或$0＜x＜\frac{1}{2}$，
$\therefore$原不等式的解集为$(0,\frac{1}{2})\cup(2,+\infty)$。

14. 已知 $ f(x) = \begin{cases}(1 - 2a)x + 5a,x ＜ 1,\\\log_7x,x \geq 1\end{cases}$ 的值域为 $ \mathbf{R} $，那么实数 $ a $ 的取值范围是 ______ _ 。

答案： 14.$[-\frac{1}{3},\frac{1}{2})$ 要使函数$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$，
则必须满足$\begin{cases}1 - 2a＞0,\\\log_71\leq1 - 2a + 5a,\end{cases}$
即$a＜\frac{1}{2}$，所以$-\frac{1}{3}\leq a＜\frac{1}{2}$。

15. 若不等式 $ x^2 - \log_mx ＜ 0 $ 在 $ (0,\frac{1}{2}) $ 内恒成立，求实数 $ m $ 的取值范围。

答案：
15.解 由$x^2 - \log_mx＜0$，得$x^2＜\log_mx$，在同一坐标系中作$y = x^2$和$y=$
$\log_mx$的草图，如图所示。

要使$x^2＜\log_mx$在$(0,\frac{1}{2})$内恒成立，只要$y=\log_mx$在$(0,\frac{1}{2})$内
的图象在$y = x^2$图象的上方，于是$0＜m＜1$。
$\because$当$x = \frac{1}{2}$时，$y = x^2=\frac{1}{4}$，
$\therefore$只要当$x = \frac{1}{2}$时，$y=\log_m\frac{1}{2}\geq\frac{1}{4}=\log_mm^{\frac{1}{4}}$即可，
$\therefore\frac{1}{2}\leq m^{\frac{1}{4}}$，即$\frac{1}{16}\leq m$。又$0＜m＜1$，$\therefore\frac{1}{16}\leq m＜1$。
即实数$m$的取值范围是$[\frac{1}{16},1)$。