《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知 $ a^{2x} = 3 $，求 $ \frac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} $ 的值。

答案： 10.解 原式$=\frac{(a^{x}+a^{-x})(a^{2x}-a^{x}a^{-x}+a^{-2x})}{a^{x}+a^{-x}}=a^{2x}-1+a^{-2x}=3 - 1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$.

11. 已知 $ x, y \in \mathbf{R} $，下列等式恒成立的是(B)

A.$ (\sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y})^6 = x - y $
B.$ \sqrt[8]{(x^2 + y^2)^8} = x^2 + y^2 $
C.$ \sqrt[4]{x^4} - \sqrt[4]{y^4} = x - y $
D.$ \sqrt[10]{(x + y)^{10}} = x + y $

答案： 11.B A项显然不成立；B项,$\because x^{2}+y^{2}\geqslant0$,$\therefore\sqrt[8]{(x^{2}+y^{2})^{8}}=|x^{2}+y^{2}|=x^{2}+y^{2}$,故B项恒成立；C项,$\sqrt[4]{x^{4}}-\sqrt[4]{y^{4}}=|x|-|y|=x - y$不一定成立,故C项不恒成立；D项,$\sqrt[10]{(x + y)^{10}}=|x + y|=x + y$不一定成立,故D项不恒成立.

12. 若 $ (1 - 2x)^{-\frac{3}{4}} $ 有意义，则 $ x $ 的取值范围是(D)

A.$ \mathbf{R} $
B.$ (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) $
C.$ (\frac{1}{2}, +\infty) $
D.$ (-\infty, \frac{1}{2}) $

答案： 12.D 将分数指数幂化为根式,可知需满足$1 - 2x＞0$,解得$x＜\frac{1}{2}$.

13. 方程 $ 3^{\sqrt{2}x - 1} = \frac{1}{9} $ 的解是(B)

A.$ x = -\sqrt{2} $
B.$ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ x = \sqrt{2} $
D.$ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

答案： 13.B $\because3^{\sqrt{2x - 1}}=\frac{1}{9}=3^{-2}$,$\therefore\sqrt{2x - 1}=-2$,$\therefore x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore$方程$3^{\sqrt{2x - 1}}=\frac{1}{9}$的解是$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

14. 已知 $ 2^a = 5^b = m $，且 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 $，则 $ m $ 等于(A)

A.$ \sqrt{10} $
B.$ 10 $
C.$ 20 $
D.$ 100 $

答案： 14.A 由题意得$m＞0$,$\because2^{a}=m$,$5^{b}=m$,$\therefore2=m^{\frac{1}{a}}$,$5=m^{\frac{1}{b}}$,$\because2×5=m^{\frac{1}{a}}· m^{\frac{1}{b}}=m^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$,$\therefore m^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = 10$,$\therefore m=\sqrt{10}$.

15. 若 $ a = 3 $，求 $ \frac{1}{1 + a^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{1 - a^{\frac{1}{4}}} + \frac{2}{1 + a^{\frac{1}{2}}} + \frac{4}{1 + a} $ 的值。

答案： 15.解 $\frac{1}{1 + a^{\frac{1}{4}}}+\frac{1}{1 - a^{\frac{1}{4}}}+\frac{2}{1 + a^{\frac{1}{2}}}+\frac{4}{1 + a}=\frac{2}{(1 + a^{\frac{1}{4}})(1 - a^{\frac{1}{4}})}+\frac{2}{1 + a^{\frac{1}{2}}}+\frac{4}{1 + a}=\frac{2}{1 - a^{\frac{1}{2}}}+\frac{2}{1 + a^{\frac{1}{2}}}+\frac{4}{1 + a}=\frac{4}{(1 - a^{\frac{1}{2}})(1 + a^{\frac{1}{2}})}+\frac{4}{1 + a}=\frac{4}{1 - a}+\frac{4}{1 + a}=\frac{8}{1 - a^{2}}=\frac{8}{1 - 9}=-1$.