《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 下列选项中，$p$是$q$的充分条件的是(A)

A.$p:ab\neq 0$，$q:a\neq 0$
B.$p:a^{2}+b^{2}\geqslant 0$，$q:a\geqslant 0$且$b\geqslant 0$
C.$p:x^{2}＞1$，$q:x＞1$
D.$p:a＞b$，$q:\sqrt{a}＞\sqrt{b}$

答案： 1.A 根据充分条件的概念逐一判断，只有ab≠0⇒a≠0.

2. 使$x＞1$成立的一个必要条件是(A)

A.$x＞0$
B.$x＞3$
C.$x＞2$
D.$x＜2$

答案： 2.A 只有x＞1⇒x＞0，其他选项均不可由x＞1推出。

3. 下列命题中为真命题的是(C)

A.“$a＞b$”是“$a^{2}＞b^{2}$”的充分条件
B.“$a＞b$”是“$a^{2}＞b^{2}$”的必要条件
C.“$a + 3$是无理数”是“$a$是无理数”的充分条件
D.“$x = 1$”是“$x^{2}+2x - 3 = 0$”的必要条件

答案： 3.C 对于A，不妨设a = 0＞b = - 1，但此时有a² = 0＜b² = 1，所以“a＞b”不是“a²＞b²”的充分条件，故A为假命题；对于B，不妨设a = - 1＜b = 0，但此时有a² = 1＞b² = 0，所以“a＞b”不是“a²＞b²”的必要条件，故B为假命题；对于C，a+3是无限不循环小数，则a是无限不循环小数，由无理数的定义可知“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件，故C为真命题；对于D，当x = 1时，有x²+2x - 3 = 1²+2×1 - 3 = 0，所以“x = 1”是“x²+2x - 3 = 0”的充分条件，故D为假命题。

4. 下列“若$p$，则$q$”形式的命题中，满足$p$是$q$的充分条件的是(A)

A.若平面内点$P$在线段$AB$的垂直平分线上，则$PA = PB$
B.若$x$是无理数，则$x^{2}$也是无理数
C.若$x＞y$，则$x^{2}＞y^{2}$
D.若$x^{2}＞y^{2}$，则$x＞y$

答案： 4.A 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，故A正确；若x = $\sqrt{2}$，则x² = 2，故B不成立；若x = - 1，y = - 2，故C结论不成立；若x = - 2，y = 1，故D结论不成立。

5. (多选)下列说法不正确的是(BC)

A.“$x＞5$”是“$x＞4$”的充分条件
B.“$xy = 0$”是“$x = 0$且$y = 0$”的充分条件
C.“$-2＜x＜2$”是“$x＜2$”的必要条件
D.$x^{2}-3x + 2 = 0$是$x = 1$的必要条件

答案： 5.BC B中由xy = 0不能推出x = 0且y = 0，故B不正确；C中“-2＜x＜2”是“x＜2”的充分条件。

6. (多选)使$ab＞0$成立的充分条件是(ACD)

A.$a＞0$，$b＞0$
B.$a + b＞0$
C.$a＜0$，$b＜0$
D.$a＞1$，$b＞1$

答案： 6.ACD 因为a＞0,b＞0⇒ab＞0；a＜0,b＜0⇒ab＞0；a＞1,b＞1⇒ab＞0，所以选项A、C、D都是使ab＞0成立的充分条件。

7. 设集合$A=\{1,2\}$，
(1)请写出一个集合$B$B = {1,2,3}(答案不唯一)，使“$x\in A$”是“$x\in B$”的充分条件，但“$x\in A$”不是“$x\in B$”的必要条件。
(2)请写出一个集合$B$B = {1}(答案不唯一)，使“$x\in A$”是“$x\in B$”的必要条件，但“$x\in A$”不是“$x\in B$”的充分条件。

答案： 7.
(1)B = {1,2,3}(答案不唯一)　
(2)B = {1}(答案不唯一)

8. 条件$p:2 - x＞0$，条件$q:x＜a$，若$p$是$q$的充分条件，则$a$的取值范围是{a|a≥2}。

答案： 8.{a|a≥2} 由题意得，p：x＜2，若p是q的充分条件，则p⇒q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≥2。

9. 指出下列命题中，$p$是$q$的什么条件？
（1）$p:x^{2}=2x + 1$，$q:x=\sqrt{2x + 1}$；
（2）$p:a^{2}+b^{2}=0$，$q:a + b = 0$；
（3）$p:(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=0$，$q:(x - 1)(y - 2)=0$。

答案： 9.解　
(1)
∵x²=2x + 1⇏x = $\sqrt{2x + 1}$，x = $\sqrt{2x + 1}$⇒x²=2x + 1，
∴p是q的必要条件。
(2)
∵a²+b²=0⇒a = b = 0⇒a + b = 0，a + b = 0⇏a²+b²=0，
∴p是q的充分条件。
(3)
∵(x - 1)²+(y - 2)²=0⇒x = 1且y = 2⇒(x - 1)(y - 2)=0，而(x - 1)(y - 2)=0⇒x = 1或y = 2⇏(x - 1)²+(y - 2)²=0，
∴p是q的充分条件。