《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 经研究发现,学生的注意力与老师的授课时间有关,开始授课时,学生的注意力逐渐集中,达到理想的状态后保持一段时间,随后开始逐渐分散,用 $ f(x) $ 表示学生的注意力,x 表示授课时间(单位:分),实验结果表明 $ f(x) $ 与 x 有如下关系:
$ f(x) = \begin{cases}5x + 9, & 0 ＜ x ＜ 10, \\59, & 10 \leq x \leq 16, \\-3x + 107, & 16 ＜ x \leq 30.\end{cases} $
(1)开始授课后多少分钟,学生的注意力最集中? 能维持多长时间?
(2)若讲解某一道数学题需要 55 的注意力以及 10 分钟的时间,老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题?

答案： 10.解　
(1)由题意得，当$0 ＜ x ＜ 10$时，$f(x) = 5x + 9$，此时函数单调递增；
当$10\leq x\leq16$时，函数$f(x)$取得最大值，此时$f(x) = 59$；
当$16 ＜ x\leq30$时，$f(x) = - 3x + 107$，此时函数单调递减.
所以开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟.
(2)当$0 ＜ x ＜ 10$时，令$f(x)\geq55$，即$5x + 9\geq55$，
解得$9.2\leq x ＜ 10$，集中注意力时间共$10 - 9.2 = 0.8$（分钟）；
当$10\leq x\leq16$时，$f(x) = 59\geq55$，集中注意力时间共6分钟；
当$16 ＜ x\leq30$时，令$f(x)\geq55$，即$- 3x + 107\geq55$，解得$16 ＜ x\leq\frac{52}{3}$，则集中注意力时间共$\frac{52}{3} - 16 = \frac{4}{3}$（分钟），
因为$0.8 + 6 + \frac{4}{3} = \frac{122}{15} ＜ 10$，所以老师不能及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题.

11. 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系 $ p = at^2 + bt + c $ (a,b,c 是常数),如图记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(B)


A.3.50 分钟
B.3.75 分钟
C.4.00 分钟
D.4.25 分钟

答案： 11.B　根据图象，把$(t,p)$的三组数据$(3,0.7)$，$(4,0.8)$，$(5,0.5)$分别代入函数关系式，
得$\begin{cases}0.7 = 9a + 3b + c,\\0.8 = 16a + 4b + c,\\0.5 = 25a + 5b + c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 0.2,\\b = 1.5,\\c = - 2.\end{cases}$
$\therefore p = - 0.2t^2 + 1.5t - 2 = - \frac{1}{5}(t - \frac{15}{4})^2 + \frac{13}{16}$.
当$t = \frac{15}{4} = 3.75$时，p取得最大值，
即最佳加工时间为3.75分钟.

12. 某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 千米(不超过 3 千米按起步价付费);超过 3 千米但不超过 8 千米时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 千米时,超过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元. 若某人乘坐出租车行驶了 5.6 千米,则需付车费14.59元,若某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此出租车行驶了9千米.

答案： 12.14.59　9　设出租车行驶x千米时，付费y元，
则$y=\begin{cases}9,0 ＜ x\leq3,\\8 + 2.15(x - 3) + 1,3 ＜ x\leq8,\\8 + 2.15×5 + 2.85(x - 8) + 1,x ＞ 8,\end{cases}$
当$x = 5.6$时，$y = 8 + 2.15×2.6 + 1 = 14.59$（元）.
由$y = 22.6$，知$x ＞ 8$，
由$8 + 2.15×5 + 2.85(x - 8) + 1 = 22.6$，
解得$x = 9$.

13. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析,每辆客车营运的利润 y 与营运年数 $ x(x \in \mathbf{N}) $ 为二次函数关系(如图),则客车经过5年可使营运的年平均利润最大.

答案： 13.5　由图得$y = - (x - 6)^2 + 11$，
则$\frac{y}{x} = - x - \frac{25}{x} + 12\leq - 2\sqrt{25} + 12 = 2$，
当且仅当$x = \frac{25}{x}$，即$x = 5$时，等号成立，
故客车经过5年可使营运的年平均利润最大.