《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. $-\frac{1}{2}+\log_{2}3×\log_{3}4$的值为(D)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$1$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 1.D 原式= $ - \frac { 1 } { 2 } + \frac { \lg 3 } { \lg 2 } × \frac { \lg 4 } { \lg 3 } - \frac { 1 } { 2 } + \frac { \lg 3 } { \lg 2 } × \frac { 2 \lg 2 } { \lg 3 } = \frac { 3 } { 2 } $

2. 已知$2^{x}=3,\log_{4}\frac{8}{3}=y$，则$x + 2y$的值为(A)

A.$3$
B.$8$
C.$4$
D.$\log_{4}8$

答案： 2.A 

3. 化简得$\log_{8}32$的值为(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$4$
D.$\frac{5}{3}$

答案： 3.D 

4. 已知正实数$a,b,c$满足$\log_{2}a=\log_{3}b=\log_{6}c$，则(C)

A.$a = bc$
B.$b^{2}=ac$
C.$c = ab$
D.$c^{2}=ab$

答案： 4.C 

5. $\frac{1}{\log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{9}}+\frac{1}{\log_{\frac{1}{5}}\frac{1}{3}}$等于(C)

A.$\lg3$
B.$-\lg3$
C.$\frac{1}{\lg3}$
D.$-\frac{1}{\lg3}$

答案： 5.C 

6. (多选)若实数$a,b$满足$2^{a}=5^{b}=10$，则下列关系正确的有(AB)

A.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$
B.$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\lg20$
C.$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=2$
D.$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{2}$

答案： 6.AB 

7. 若$\ln3 = a$，则$\log_{9}e =$$\frac{1}{2a}$。

答案： 7.因为 $ \ln 3 = a $，则 $ e ^ { a } = 3 $，所以 $ \log _ { 9 } e = \frac { \ln e } { \ln 9 } = \frac { 1 } { \ln ( e ^ { a } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 a } $.

8. 设$\log_{2}3·\log_{3}6·\log_{6}m=\log_{4}(2m + 8)$，则实数$m =$4。

答案： 8.4 

9. 计算下列各式的值：
（1）$\log_{5}35 + 2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}-\log_{5}\frac{1}{50}-\log_{5}14$；
（2）$(\log_{2}125+\log_{4}25+\log_{8}5)·(\log_{5}2+\log_{25}4+\log_{125}8)$。

答案： $(1)$计算$\log_{5}35 + 2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}-\log_{5}\frac{1}{50}-\log_{5}14$的值
解：
根据对数运算法则：$\log_aM+\log_aN = \log_a(MN)$，$\log_aM-\log_aN=\log_a\frac{M}{N}$，$n\log_aM=\log_aM^n$。
对$2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}$化简：
$2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}=2\log_{\frac{1}{2}}2^{\frac{1}{2}}=2×\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}2$（根据$n\log_aM=\log_aM^n$）
因为$\log_{\frac{1}{2}}2=\log_{2^{-1}}2 = - 1$（根据$\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab$），所以$2×\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}2=-1$。
对$\log_{5}35 + 2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}-\log_{5}\frac{1}{50}-\log_{5}14$化简：
$\begin{aligned}&\log_{5}35 + 2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}-\log_{5}\frac{1}{50}-\log_{5}14\\=&\log_{5}(35÷\frac{1}{50}÷14)-1\\=&\log_{5}(35×50÷14)-1\\=&\log_{5}(25×5)-1\\=&\log_{5}125 - 1\\=&\log_{5}5^3-1\\=&3 - 1\\=&2\end{aligned}$
$(2)$计算$(\log_{2}125+\log_{4}25+\log_{8}5)·(\log_{5}2+\log_{25}4+\log_{125}8)$的值
解：
根据换底公式$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$。
对$\log_{2}125+\log_{4}25+\log_{8}5$化简：
$\log_{2}125+\log_{4}25+\log_{8}5=\log_{2}5^3+\log_{2^2}5^2+\log_{2^3}5$
$ = 3\log_{2}5+\frac{2}{2}\log_{2}5+\frac{1}{3}\log_{2}5$（根据$\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab$）
$=(3 + 1+\frac{1}{3})\log_{2}5=\frac{13}{3}\log_{2}5$。
对$\log_{5}2+\log_{25}4+\log_{125}8$化简：
$\log_{5}2+\log_{25}4+\log_{125}8=\log_{5}2+\log_{5^2}2^2+\log_{5^3}2^3$
$=\log_{5}2+\frac{2}{2}\log_{5}2+\frac{3}{3}\log_{5}2$（根据$\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab$）
$=(1 + 1+1)\log_{5}2=3\log_{5}2$。
计算$(\log_{2}125+\log_{4}25+\log_{8}5)·(\log_{5}2+\log_{25}4+\log_{125}8)$：
$(\frac{13}{3}\log_{2}5)×(3\log_{5}2)$
因为$\log_{a}b×\log_{b}a = 1$（根据换底公式$\log_ab×\log_ba=\frac{\log_cb}{\log_ca}×\frac{\log_ca}{\log_cb}=1$），所以$(\frac{13}{3}\log_{2}5)×(3\log_{5}2)=13$。
综上，$(1)$式的值为$2$；$(2)$式的值为$13$。