《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

7. 某种产品每件 80 元,每天可售出 30 件,如果每件定价 120 元,则每天可售出 20 件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为$y = - \frac{1}{4}x + 50(0 ＜ x ＜ 200)$.

答案： 7.$y = - \frac{1}{4}x + 50(0 ＜ x ＜ 200)$设解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，
其中x为每件产品的定价（单位：元），y为每天售出的件数（单位：件），
由$\begin{cases}30 = k×80 + b,\\20 = k×120 + b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = - \frac{1}{4},\\b = 50,\end{cases}$
$\therefore y = - \frac{1}{4}x + 50(0 ＜ x ＜ 200)$.

8. 小明自小不爱数学,成年后还做过数学噩梦,心狂跳不止:梦见数学考试了,水池有个进水管,5 小时可注满,池底有一个出水管,8 小时可放完满池水. 若同时打开进水管和出水管,多少小时可注满空池? “这题也太变态了,你到底想放水还是注水?”小明质疑这类问题的合理性. 其实这类放水、注水问题只是个数学模型,用来刻画“增加量 - 消耗量 = 改变量”,这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题. 例如,某仓库从某时刻开始 4 小时内只进货不出货,在随后的 8 小时内同时进出货,接着按此进出货速度,不进货,直到把仓库中的货出完. 假设每小时进、出货量是常数,仓库中的货物量 y(吨)与时间 x(时)之间的部分关系如图,那么从不进货起8小时后该仓库内的货恰好运完.

答案： 8.8　由图象可知，在0到4小时进货20吨，故进货速度是每小时5吨，
所以出货速度为每小时$(20 + 5×8 - 30)÷8 = \frac{15}{4}$（吨），
从不进货起，需要$30÷\frac{15}{4} = 8$（小时）将该仓库的货恰好运完.

9. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售单价与日均销售量的关系如表所示.
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

答案： 9.解　由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，
设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
在此情况下的日均销售量为$480 - 40(x - 1) = (520 - 40x)$（桶）.令$520 - 40x ＞ 0$，则$0 ＜ x ＜ 13$.
$y = (520 - 40x)x - 200 = - 40x^2 + 520x - 200$
$ = - 40(x - 6.5)^2 + 1490,0 ＜ x ＜ 13$.
易知，当$x = 6.5$时，y有最大值.
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润.