《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知指数函数 $f(x)$ 的图象过点 $P(3,8)$，且函数 $g(x)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，又 $g(2x - 1)＜g(3x)$，求 $x$ 的取值范围。

答案： 10.解 设$f(x)=a^{x}(a＞0$且$a\neq1)$，
因为$f(3)=8$，所以$a^{3}=8$，即$a=2$，
所以$f(x)=2^{x}$，
又因为$g(x)$与$f(x)$的图象关于$y$轴对称，
所以$g(x)=(\frac{1}{2})^{x}$，在定义域R上是减函数。
因此由$g(2x-1)＜g(3x)$，
即$(\frac{1}{2})^{2x-1}＜(\frac{1}{2})^{3x}$，
得$2x-1＞3x$，解得$x＜-1$。
所以$x$的取值范围为$(-\infty,-1)$。

11.(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是(AB)

A.$1.7^{2.5}＜1.7^{3}$
B.$0.8^{-0.1}＜0.8^{-0.2}$
C.$1.5^{0.4}＜0.8^{2.6}$
D.$(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}＞(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}$

答案： 11.AB $\because$函数$y=1.7^{x}$在R上为增函数，$2.5＜3$，
$\therefore1.7^{2.5}＜1.7^{3}$，A正确；
$\because$函数$y=0.8^{x}$在R上为减函数，$-0.1＞-0.2$，
$\therefore0.8^{-0.1}＜0.8^{-0.2}$，B正确；
$\because1.5^{0.4}＞1.5^{0}=1,0.8^{2.6}＜0.8^{0}=1$，
$\therefore1.5^{0.4}＞0.8^{2.6}$，C错误；
$[(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}]^{12}=(\frac{1}{3})^{4}=\frac{1}{81}$，
$[(\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}}]^{12}=(\frac{1}{4})^{3}=\frac{1}{64}$，
$\because\frac{1}{81}＜\frac{1}{64}$，$\therefore(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}＜(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}$，D错误。

12.(多选)已知实数 $a$，$b$ 满足等式 $2021^{a}=2022^{b}$，下列等式可以成立的是(ABD)

A.$a = b = 0$
B.$a＜b＜0$
C.$0＜a＜b$
D.$0＜b＜a$

答案：
12.ABD 如图，观察易知，$a＜b＜0$或$0＜b＜a$或$a=b=0$。

13. 函数 $f(x)=\begin{cases}-x + 3a,x＜0,\\a^{x},x\geq0\end{cases}(a＞0$，且 $a\neq1)$ 是 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是 ________ 。

答案： 13.$[\frac{1}{3},1)$ 由题意知$f(x)$是R上的减函数，
则$\begin{cases}0＜a＜1,\\3a\geq a^{0}=1,\end{cases}$即$\frac{1}{3}\leq a＜1$。
故$a$的取值范围是$[\frac{1}{3},1)$。

14. 定义运算：$a\otimes b=\begin{cases}b,a\geq b,\\a,a＜b,\end{cases}$ 则函数 $f(x)=3^{-x}\otimes3^{x}$ 的值域为 ________ 。

答案：
14.$(0,1]$ 由题意得，$f(x)=\begin{cases}3^{x},x\leq0,\\3^{-x},x＞0,\end{cases}$
函数$f(x)$的图象如图，

由图可知$f(x)$的值域为$(0,1]$。

15. 已知函数 $f(x)=2^{-x}$。
（1）求 $f(0)-2^{\frac{3}{2}}×\sqrt{2}×2^{-2}$ 的值；
（2）若函数 $h(x)=f(x)+g(x)$，且 $h(x)$，$g(x)$ 满足下列条件：
①$h(x)$ 为偶

函

数；
②$h(x)\geq2$ 且 $\exists x\in R$ 使得 $h(x)=2$；
③$g(x)＞0$ 且 $g(x)$ 恒过 $(0,1)$ 点。
写出一个符合题意的函数 $g(x)$，并说明理由。

答案： 15.解
(1)由题意知$f(0)-2^{\frac{3}{2}}×\sqrt{2}×2^{-2}=2^{0}-2^{\frac{3}{2}}×2^{\frac{1}{2}}×2^{-2}=1-2^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-2}=1-2^{0}=0$。
(2)满足题意的函数$g(x)=2^{x}$。
证明如下：①因为$h(x)=2^{x}+2^{-x}$，
所以$h(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^{-x}+2^{x}=h(x)$，
所以$h(x)=2^{x}+2^{-x}$为偶函数。
②$h(x)=2^{x}+2^{-x}\geq2\sqrt{2^{x}·2^{-x}}=2\sqrt{2^{x-x}}=2\sqrt{2^{0}}=2$，当且仅当$2^{x}=2^{-x}$，即$x=0$时等号成立。
③$g(x)=2^{x}＞0,g(x)$恒过$(0,1)$点。