《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知集合$A=\{x|-3\leqslant x＜4\}$，$B=\{x|2m - 1\leqslant x\leqslant m + 1\}$。
（1）当$m = 1$时，求$A\cap (\complement_{R}B)$；
（2）若“$x\in A$”是“$x\in B$”的必要条件，求实数$m$的取值范围。

答案： 10.解　
(1)当m = 1时，B = {x|1≤x≤2}，
所以∁_{R}B = {x|x＜1或x＞2}，
所以A∩(∁_{R}B)={x|-3≤x＜1或2＜x＜4}.
必修第一册.数学
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，于是得B⊆A，
①当B = ∅时，m + 1＜2m - 1，解得m＞2；
②当B≠∅时，由B⊆A得$\begin{cases}2m - 1≥ - 3\\m + 1＜4\end{cases}$，
解得-1≤m＜2，综上所述，m≥ - 1.

11. (多选)下列“若$p$，则$q$”形式的命题中，$p$是$q$的必要条件的是(BCD)

A.若两个三角形全等，则这两个三角形相似
B.若$x＞5$，则$x＞10$
C.若$ac = bc$，则$a = b$
D.若$0＜x＜5$，则$|x - 1|＜1$

答案： 11.BCD 选项A，若两个三角形全等，则这两个三角形一定相似，但两个三角形相似未必全等，故p不是q的必要条件；B选项，由x＞5，无法推出x＞10，如6＞5，但是6＜10，反之成立，即满足p是q的必要条件；C选项，由ac = bc，无法得到a = b，如c = 0，a = 1，b = 2时，有ac = bc，但是a≠b，反之成立，即p是q的必要条件；D选项，若0＜x＜5，则 - 1＜x - 1＜4，即|x - 1|＜4，反之|x - 1|＜4，则0＜x＜2，满足p是q的必要条件。

12. 集合$A=\{x|-1＜x＜1\}$，$B=\{x|-a＜x - b＜a\}$。若“$a = 1$”是“$A\cap B\neq \varnothing$”的充分条件，则实数$b$的取值范围是(C)

A.$\{b|-2\leqslant b＜0\}$
B.$\{b|0＜b\leqslant 2\}$
C.$\{b|-2＜b＜2\}$
D.$\{b|-2\leqslant b\leqslant 2\}$

答案： 12.C A = {x|-1＜x＜1}，B = {x|-a＜x - b＜a} = {x|b - a＜x＜b + a}.
因为“a = 1”是“A∩B≠∅”的充分条件，
所以 - 1≤b - a＜ - 1或 - 1＜b + a＜1，即 - 2＜b＜2.

13. 已知$p:x＜-2$或$x＞10$，$q:x＜1 + a$或$x＞1 - a(a＜0)$。若$p$是$q$的必要条件，则实数$a$的取值范围为{a|a≤ - 9}。

答案： 13.{a|a≤ - 9}
∵p是q的必要条件，
∴q⇒p，
∴$\begin{cases}1 + a≤ - 2\\a＜0\end{cases}$，解得a≤ - 9.

14. “一元二次方程$x^{2}-ax + 1 = 0$有两个正实数根”的一个充分条件可以为a＞3(答案不唯一)；一个必要条件可以为a＞ - 1(答案不唯一)。

答案： 14.a＞3(答案不唯一) a＞ - 1(答案不唯一) 因为一元二次方程x²-ax + 1 = 0有两个正实数根，
所以$\begin{cases}\Delta = a²-4≥0\\x_{1}+x_{2}=a＞0\end{cases}$，解得a≥2.
故一元二次方程x²-ax + 1 = 0有两个正实数根的一个充分条件可以为a＞3；
一元二次方程x²-ax + 1 = 0有两个正实数根的一个必要条件可以为a＞ - 1.

15. （1）是否存在实数$m$，使$2x + m＜0$是$x＜-1$或$x＞3$的充分条件？
（2）是否存在实数$m$，使$2x + m＜0$是$x＜-1$或$x＞3$的必要条件？

答案： 15.解　
(1)欲使2x + m＜0是x＜ - 1或x＞3的充分条件，
则只要{x|x＜ - $\frac{m}{2}$}⊆{x|x＜ - 1或x＞3}，
即只需 - $\frac{m}{2}$≤ - 1，
所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x + m＜0是x＜ - 1或x＞3的充分条件。
(2)欲使2x + m＜0是x＜ - 1或x＞3的必要条件，则只要{x|x＜ - 1或x＞3}⊆{x|x＜ - $\frac{m}{2}$}，这是不可能的.
故不存在实数m，使2x + m＜0是x＜ - 1或x＞3的必要条件.