《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 下列各图中,表示以 $ x $ 为自变量的奇函数的图象是(B)


A.
B.
C.
D.

答案： 1.B A、D不是函数；C不关于原点对称.

2. 已知 $ f(x)=(m - 1)x^{2}+2mx + 3 $ 为偶函数,则 $ f(x) $ 在区间 $ (2,5) $ 上(B)

A.单调递增
B.单调递减
C.有增有减
D.增减性不确定

答案： 2.B 由$f(x)$是偶函数，即$f(-x)=f(x)$，得$m=0$，所以$f(x)=-x^{2}+3$，画出函数$f(x)=-x^{2}+3$的图象(图略)知，在区间$(2,5)$上单调递减.

3. 已知函数 $ f(x) $ 是定义域为 $ \mathbf{R} $ 的奇函数,且 $ f(x)=f(4 - x) $,当 $ - 2\leqslant x\lt0 $ 时,$ f(x)=\frac{1}{x} $,则 $ f\left(\frac{7}{2}\right) $ 等于(D)

A.$ - 2 $
B.$ -\frac{2}{7} $
C.$ \frac{2}{7} $
D.$ 2 $

答案： 3.D $\because f(x)=f(4-x)$，
$\therefore f(x)$的图象关于直线$x=2$对称，
$\therefore f(\frac{7}{2})=f(\frac{1}{2})$.
又$\because$函数$f(x)$为奇函数，
$\therefore f(\frac{1}{2})=-f(-\frac{1}{2})=-(-2)=2$，
即$f(\frac{7}{2})=2$.

4. 定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数 $ f(x) $ 的部分图象如图,则下列函数中在 $ (-2,0) $ 上与 $ f(x) $ 的单调性不同的是(D)


A.$ y = x^{2}+1 $
B.$ y = |x|+1 $
C.$ y=\begin{cases}2x + 1,x\geqslant0\\-x + 1,x\lt0\end{cases} $
D.$ y=\begin{cases}|x + 1|,x\geqslant0\\-|x - 1|,x\lt0\end{cases} $

答案： 4.D 易知$f(x)$在$(-2,0)$上单调递减，A，B，C选项中函数在$(-\infty,0)$上单调递减，D选项中，函数在$(-\infty,0)$上单调递增.

5. 已知偶函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0,+\infty) $ 上单调递增,则满足 $ f(2x - 1)\lt f\left(\frac{1}{3}\right) $ 的 $ x $ 的取值范围是(A)

A.$ \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) $
B.$ \left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right] $
C.$ \left(\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right) $
D.$ \left[\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right) $

答案： 5.A 偶函数满足$f(x)=f(|x|)$，根据这个结论，
有$f(2x-1)＜f(\frac{1}{3})\Rightarrow f(|2x-1|)＜f(\frac{1}{3})$，进而转化为不等式$|2x-1|＜\frac{1}{3}$，解这个不等式得$x$的取值范围是$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.

6. (多选)若函数 $ y = f(x) $ 是偶函数,定义域为 $ \mathbf{R} $,且该函数图象与 $ x $ 轴的交点有 $ 3 $ 个,则下列说法正确的是(AC)

A.$ 3 $ 个交点的横坐标之和为 $ 0 $
B.$ 3 $ 个交点的横坐标之和不是定值,与函数解析式有关
C.$ f(0)=0 $
D.$ f(0) $ 的值与函数解析式有关

答案： 6.AC

7. 已知偶函数 $ f(x) $ 和奇函数 $ g(x) $ 的定义域都是 $ (-4,4) $,且在 $ (-4,0] $ 上的图象如图所示,则关于 $ x $ 的不等式 $ f(x)· g(x)\lt0 $ 的解集是$(-4,-2)\cup(0,2)$.

答案： 7.$(-4,-2)\cup(0,2)$ 设$h(x)=f(x)g(x)$，
则$h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x)$，
所以$h(x)$是奇函数，
由图象可知，当$-4＜x＜-2$时，$f(x)＞0$，$g(x)＜0$，
即$h(x)＜0$，
当$0＜x＜2$时，$f(x)＜0$，$g(x)＞0$，即$h(x)＜0$，
所以$h(x)＜0$的解集为$(-4,-2)\cup(0,2)$.

8. 设 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数,且 $ y = f(x) $ 的图象关于直线 $ x=\frac{1}{2} $ 对称,则 $ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= $0.

答案： 8.0 $\because f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，
$\therefore f(0)=0$.
又$f(x)$关于直线$x=\frac{1}{2}$对称，
$\therefore f(\frac{1}{2}-x)=f(\frac{1}{2}+x)$.①
在①式中，当$x=\frac{1}{2}$时，$f(0)=f(1)=0$.
在①式中，以$\frac{1}{2}+x$代替$x$，得
$f(\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}+x))=f(\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}+x))$，
即$f(-x)=f(1+x)$.
$\therefore f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0$，
$f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0$，
同理，$f(4)=f(5)=0$.
$\therefore f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0$.

9. 已知函数 $ f(x) $ 是定义域为 $ \mathbf{R} $ 的奇函数,当 $ x\lt0 $ 时,$ f(x)=1+\frac{1}{x - 1} $.
(1) 求 $ f(2) $ 的值;
(2) 用定义法判断 $ y = f(x) $ 在区间 $ (-\infty,0) $ 上的单调性;
(3) 求当 $ x\gt0 $ 时,$ f(x) $ 的解析式.

答案： 9.解
(1)根据题意，得函数$f(x)$为奇函数，
当$x＜0$时，$f(x)=1+\frac{1}{x-1}$，
则$f(2)=-f(-2)=-(1+\frac{1}{-2-1})=-\frac{2}{3}$.
(2)根据题意得，当$x＜0$时，$f(x)=1+\frac{1}{x-1}$，
在$(-\infty,0)$上任取$x_1,x_2$，且$x_1＜x_2$，
则$f(x_1)-f(x_2)=(1+\frac{1}{x_1-1})-(1+\frac{1}{x_2-1})=\frac{x_2-x_1}{(x_1-1)(x_2-1)}$，
又由$x_1-1＜0$，$x_2-1＜0$，$x_2-x_1＞0$，
可得$f(x_1)-f(x_2)＞0$，即$f(x_1)＞f(x_2)$.
由定义可知，函数$y=f(x)$在区间$(-\infty,0)$上单调递减.
(3)当$x＞0$时，$-x＜0$，则$f(-x)=1+\frac{1}{-x+1}$，
由函数$f(x)$为奇函数知$f(x)=-f(-x)$，
所以$f(x)=-1+\frac{1}{x+1}=-\frac{x}{x+1}$.