《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 下列各函数中，是指数函数的是 (D)

A.$ y = (-4)^x $
B.$ y = -4^x $
C.$ y = 3^{x - 1} $
D.$ y = (\frac{1}{3})^x $

答案： 1.D　A中函数的底数不满足大于零，故不是指数函数;B中函数式中幂值的系数不是1,故不是指数函数;C中的指数是$x-1$，不是指数函数。

2. 若函数 $ y = (m^2 - m - 1) · m^x $ 是指数函数，则 $ m $ 等于 (C)

A.$-1$ 或 $2$
B.$-1$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 2.C　依题意，有$\begin{cases}m^2 - m - 1 = 1,\\m ＞ 0 且 m \neq 1,\end{cases}$解得$m = 2$。

3. 函数 $ f(x) = (2a - 3)a^x $ 是指数函数，则 $ f(1) $ 等于 (D)

A.$8$
B.$\frac{3}{2}$
C.$4$
D.$2$

答案： 3.D
∵函数$f(x) = (2a - 3)a^x$是指数函数，
∴$\begin{cases}2a - 3 = 1,\\a ＞ 0 且 a \neq 1\end{cases}$解得$a = 2$。
∴$f(x) = 2^x$，
∴$f(1) = 2$。

4. 一种产品的成品是 $ a $ 元，今后 $ m $ 年内，计划使成本平均每年比上一年降低 $ p\% $，成本 $ y $ 是经过年数 $ x(0 ＜ x ＜ m) $ 的函数，其关系式是 (B)

A.$ y = a(1 + p\%)^x(0 ＜ x ＜ m) $
B.$ y = a(1 - p\%)^x(0 ＜ x ＜ m) $
C.$ y = a(p\%)^x(0 ＜ x ＜ m) $
D.$ y = a - (p\%)^x(0 ＜ x ＜ m) $

答案： 4.B
∵产品的成本是$a$元，1年后，成本为$a - p\% · a = a(1 - p\%)$；2年后，成本为$a(1 - p\%) - a(1 - p\%) · p\% = a(1 - p\%)^2$；$·s$，
∴$x$年后，成本$y = a(1 - p\%)^x (0 ＜ x ＜ m)$。

5. 已知集合 $ A = \{-1, 0, 1\} $，$ B = \{y | y = e^x, x \in A\} $，则 $ A \cap B $ 等于 (B)

A.$\{0\}$
B.$\{1\}$
C.$\{-1\}$
D.$\{0, 1\}$

答案： 5.B　因为$A = \{-1, 0, 1\}$，$B = \{y \mid y = e^x, x \in A\}$
所以$B = \left\{\frac{1}{e}, 1, e\right\}$，因此$A \cap B = \{1\}$。

6. (多选)若函数 $ f(x) = (m^2 - 2m - 2)a^x $ 是指数函数，则实数 $ m $ 的值为 (BC)

A.$2$
B.$3$
C.$-1$
D.$1$

答案：
6.BC
∵函数$f(x) = (m^2 - 2m - 2)a^x$是指数函数，
∴$m^2 - 2m - 2 = 1$，
解得$m = 3$或$-1$。

7. 若函数 $ f(x) = (a - 1)^x $ 是指数函数，则实数 $ a $ 的取值范围是(1, 2) ∪ (2, +∞)。

答案： 7.$(1, 2) \cup (2, +\infty)$
∵函数$f(x) = (a - 1)^x$是指数函数，
∴$\begin{cases}a - 1 ＞ 0,\\a - 1 \neq 1\end{cases}$解得$a ＞ 1$且$a \neq 2$，
∴实数$a$的取值范围是$(1, 2) \cup (2, +\infty)$。

8. $ f(x) $ 为指数函数，若 $ f(x) $ 过点 $ (-2, 4) $，则 $ f(f(-1)) = $$\frac{1}{4}$。

答案： 8.$\frac{1}{4}$　设$f(x) = a^x (a ＞ 0 且 a \neq 1)$，
由$f(-2) = 4$，得$a^{-2} = 4$，解得$a = \frac{1}{2}$
所以$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$，
所以$f(-1) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$，
所以$f(f(-1)) = f(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。

9. 某林区某年木材蓄积量为 $ 200 $ 万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到 $ 5\% $。若经过 $ x $ 年后，该林区的木材蓄积量为 $ y $ 万立方米，求 $ y = f(x) $ 的解析式，并写出此函数的定义域。

答案： 9.解　由题意得，经过1年后，木材蓄积量
$y_1 = 200(1 + 5\%) = 200 × 1.05$，
经过2年后，木材蓄积量
$y_2 = 200 × 1.05 × (1 + 5\%) = 200 × 1.05^2$，
经过$x$年后，木材蓄积量$y = 200 × 1.05^x$。
定义域为$\mathbf{N}^*$。