《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 函数 $ y = \log_{(a - 3)}(7 - a) $ 中，实数 $ a $ 的取值范围是(C)

A.$ (-\infty, 7) $
B.$ (3, 7) $
C.$ (3, 4) \cup (4, 7) $
D.$ (3, +\infty) $

答案： 1.C 由$\begin{cases}a - 3 ＞ 0,\\a - 3 \neq 1,\\7 - a ＞ 0,\end{cases}$得$3 ＜ a ＜ 7$且$a \neq 4$，故实数$a$的取值范围是$(3,4) \cup (4,7)$。

2. 下列函数是对数函数的是(A)

A.$ y = \log_{2}x $
B.$ y = \ln(x + 1) $
C.$ y = \log_{x}e $
D.$ y = \log_{x}x $

答案： 2.A 由对数函数的定义可得只有A选项符合。

3. 函数 $ f(x) = \log_{2}(x - 1) $ 的定义域是(B)

A.$ [1, +\infty) $
B.$ (1, +\infty) $
C.$ (-\infty, 1) $
D.$ (-\infty, 1] $

答案： 3.B 由$x - 1 ＞ 0$，得$x ＞ 1$。

4. 已知对数函数的图象过点 $ M(9, -2) $，则此对数函数的解析式为(C)

A.$ y = \log_{2}x $
B.$ y = \log_{3}x $
C.$ y = \log_{\frac{1}{3}}x $
D.$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $

答案： 4.C 设$f(x) = \log_{a}x (a ＞ 0$且$a \neq 1)$，
$\because$对数函数的图象过点$M(9, - 2)$，
$\therefore \log_{a}9 = - 2$，
即$a^{-2} = 9$，解得$a = \frac{1}{3}$，$\therefore f(x) = \log_{\frac{1}{3}}x$。

5. 设函数 $ f(x) = \begin{cases}x^{2} + 1, x \leq 1 \\ \lg x, x ＞ 1\end{cases}$ 则 $ f(f(10)) $ 的值为( )

A.$ \lg 101 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 0 $

答案： 5.C $f(f(10)) = f(\lg 10) = f(1) = 1^{2} + 1 = 2$。

6. “每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是 $ 1 $，以后每天比前一天增加千分之五，则经过 $ y $ 天之后，你的数学水平 $ x $ 与 $ y $ 之间的函数关系式是(B)

A.$ y = \log_{1.05}x $
B.$ y = \log_{1.005}x $
C.$ y = \log_{0.95}x $
D.$ y = \log_{0.995}x $

答案： 6.B 由题意得$x = (1 + 5‰)^{y} = 1.005^{y}$，化为对数函数得$y = \log_{1.005}x$。

7. 函数 $ f(x) = \log_{a}x + a^{2} - 2a - 3 $ 为对数函数，则 $ a = $3。

答案： 7.3 依题意有$\begin{cases}a^{2} - 2a - 3 = 0,\\a \neq 1,\end{cases}$解得$a = 3$。

8. 某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为 $ x $ 万元时，奖励 $ y $ 万元。若公司拟定的奖励方案为 $ y = 2\log_{4}x - 2 $，某业务员要得到 $ 5 $ 万元奖励，则他的销售额应为128万元。

答案： 8.128 由题意得$5 = 2\log_{4}x - 2$，即$7 = \log_{2}x$，得$x = 128$。

9. 求下列函数的定义域：
(1) $ y = \log_{5}(1 - x) $；
(2) $ y = \log_{(3x - 1)}5 $；
(3) $ y = \sqrt{x - 1} + \lg(3 - x)^{2} $。

答案： 9.解
(1)要使函数式有意义，需1 - x ＞ 0，解得x ＜ 1，
所以函数$y = \log_{5}(1 - x)$的定义域是\{x|x ＜ 1\}。
(2)要使函数式有意义，需$\begin{cases}3x - 1 ＞ 0,\\3x - 1 \neq 1,\end{cases}$
解得$x ＞ \frac{1}{3}$且$x \neq \frac{2}{3}，$
所以函数$y = \log_{(3x - 1)}5$的定义域是$\{x|x ＞ \frac{1}{3}且x \neq \frac{2}{3}\}。$
(3)依题意，$\begin{cases}{x - 1 \geq 0}\\{(3 - x)^{2} ＞ 0}\end{cases}$解得$x \geq 1$且$x \neq 3，$
所以函数f(x)的定义域为$\{x|x \geq 1且x \neq 3\}。$