《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

14. 某信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密的方法是英文的 a,b,c,…,z 的 26 个字母(不论大小写)依次对应 1,2,3,…,26 这 26 个自然数.
通过变换公式:
$ f(x) = \begin{cases}\frac{x + 1}{2}(x \in \mathbf{N}^*, x \leq 26, x 不能被 2 整除), \frac{x}{2} + 13(x \in \mathbf{N}^*, x \leq 26, x 能被 2 整除),\end{cases} $
将明文转换成密文,如 $ 8 \to \frac{8}{2} + 13 = 17 $,即 h 变换成 q, $ 5 \to \frac{5 + 1}{2} = 3 $,即 e 变换成 c. 按上述规定,若将明文译成的密文是 shxc,则原来的明文是love.

答案： 14.love　$\because$明文译成的密文是shxc，
设密文s对应的明文为a，则$f(a) = 19$，
若$\frac{a + 1}{2} = 19$，则$a = 37 ＞ 26$，不符合要求，
若$\frac{a}{2} + 13 = 19$，则$a = 12$，即s对应的明文为l，
同理可以确定出h对应的明文为o，x对应的明文为v，c对应的明文为e，
$\therefore$原来的明文是love.

15. 荷兰阿斯麦尔公司(ASML)是全球高端光刻机霸主,最新的 EUV(极紫外光源)具备 7 nm 工艺. 芯片是手机中的重要部件,除此以外还有如液晶屏、电池等配件. 如果某工厂一条手机配件生产线的产量 $ \omega $ (单位:百个)与生产成本 x(单位:百元)满足如下关系:
$ \omega(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}x^2 + 3, & 0 \leq x \leq 2, \\6 - \frac{3}{1 + x}, & 2 ＜ x \leq 5,\end{cases} $
此外,还需要投入其他成本(如运输、包装成本等)2x 百元,已知这种手机配件的市场售价为 16 元/个(即 16 百元/百个),且市场需要始终供不应求. 记这条生产线获得的利润为 $ L(x) $ (单位:百元).
(1)求 $ L(x) $ 的函数表达式;
(2)当投入的生产成本为多少时,这条生产线获得的利润最大? 最大利润是多少?

答案： 15.解　
(1)$L(x) = 16\omega(x) - 2x - x$
$=\begin{cases}8x^2 - 3x + 48(0\leq x\leq2),\\96 - \frac{48}{1 + x} - 3x(2 ＜ x\leq5).\end{cases}$
(2)当$0\leq x\leq2$时，$L(x) = 8x^2 - 3x + 48$，对称轴方程为$x = \frac{3}{16}$，
所以$L(x)_{max} = L(2) = 74$；
当$2 ＜ x\leq5$时，$L(x) = 99 - \frac{48}{x + 1} + 3(x + 1)\leq99 - 2\sqrt{\frac{48}{x + 1}×3(x + 1)}\leq99 - 2\sqrt{48×3} = 75$.
当且仅当$\frac{48}{x + 1} = 3(x + 1)$，即$x = 3$时等号成立.
因为$75 ＞ 74$，
所以当投入的生产成本为300元时，这条生产线获得的利润最大，最大利润为7500元.