《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知函数 $ f(x) = (a^2 + a - 5)a^x $ 是指数函数。
（1）求 $ f(x) $ 的表达式；
（2）判断 $ F(x) = f(x) - f(-x) $ 的奇偶性并加以证明。

答案： 10.解　
(1)由$\begin{cases}a^2 + a - 5 = 1,\\a ＞ 0 且 a \neq 1\end{cases}$可得$a = 2$，
∴$f(x) = 2^x$。
(2)$F(x) = f(x) - f(-x)$是奇函数，证明如下:
$F(x) = 2^x - 2^{-x}$，定义域为$\mathbf{R}$，
∴$F(-x) = 2^{-x} - 2^x = -F(x)$，
∴$F(x)$是奇函数。

11. 函数 $ y = f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，当 $ x ＜ 0 $ 时，$ f(x) = 2^x $，则当 $ x ＞ 0 $ 时，$ f(x) $ 等于 (C)

A.$-2^x$
B.$2^{-x}$
C.$-2^{-x}$
D.$2^x$

答案： 11.C　当$x ＜ 0$时，$f(x) = 2^x$，
当$x ＞ 0$时，$-x ＜ 0$，则$f(-x) = 2^{-x}$。
又$f(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数，
所以当$x ＞ 0$时，$f(x) = -f(-x) = -2^{-x}$。

12. 某校甲、乙两食堂某年 $ 1 $ 月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同。已知该年 $ 9 $ 月份两食堂的营业额又相等，则该年 $ 5 $ 月份 (A)

A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相等
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

答案： 12.A　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为$m$，甲食堂的营业额每月增加$a (a ＞ 0)$，乙食堂的营业额每月增加的百分率为$x$。由题意，可得$m + 8a = m(1 + x)^8$，则5月份甲食堂的营业额$y_1 = m + 4a$，乙食堂的营业额$y_2 = m(1 + x)^4 = \sqrt{m(m + 8a)}$，因为$y_1^2 - y_2^2 = (m + 4a)^2 - m(m + 8a) = 16a^2 ＞ 0$，所以$y_1 ＞ y_2$，故该年5月份甲食堂的营业额较高。

13. 已知函数 $ y = f(x) $，$ x \in \mathbf{R} $，且 $ f(0) = 2 $，$\frac{f(0.5)}{f(0)} = 2$，$\frac{f(1)}{f(0.5)} = 2$，$·s$，$\frac{f(0.5n)}{f(0.5(n - 1))} = 2$，$n \in \mathbf{N}$，则函数 $ y = f(x) $ 的一个可能的解析式为$f(x) = 2 × 4^x$。

答案： 13.$f(x) = 2 × 4^x$　由题意，得$\frac{f(1)}{f(0)} = 4$，$\frac{f(2)}{f(0)} = 4^2$，$·s$，$\frac{f(x)}{f(0)} = 4^x$，
∴$f(x) = 2 × 4^x$。

14. 某工厂 $ 2024 $ 年的产值为 $ a $ 万元，预计产值每年以 $ 7\% $ 的速度增加，则该厂到 $ 2028 $ 年的产值为$a(1 + 7\%)^4$万元。

答案： 14.$a(1 + 7\%)^4$　2024年产值为$a$，增长率为7%；
2025年产值为$a + a × 7\% = a(1 + 7\%)$（万元）；
2026年产值为$a(1 + 7\%) + a(1 + 7\%) × 7\% = a(1 + 7\%)^2$（万元）；
$·s$；
2028年的产值为$a(1 + 7\%)^4$万元。

15. 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间 $ y $ 与储藏温度 $ x $ 的关系式为 $ y = ke^{rx} $（$ k $，$ r $ 为常数）。若牛奶在 $ 0^{\circ}C $ 的冰箱中，保鲜时间约是 $ 100 \mathrm{h} $，在 $ 5^{\circ}C $ 的冰箱中，保鲜时间约是 $ 80 \mathrm{h} $，那么在 $ 10^{\circ}C $ 的冰箱中的保鲜时间是多少？

答案： 15.解　因为保鲜时间$y$与储藏温度$x$的关系式为$y = ke^{rx} (k, r$为常数)，
所以$\begin{cases}ke^{r × 0} = 100,\\ke^{r × 5} = 80,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 100,\\e^r = \sqrt[5]{\frac{4}{5}}\end{cases}$
所以$y = 100 \left(\sqrt[5]{\frac{4}{5}}\right)$，
所以当$x = 10$时，$y = 100 × \left(\sqrt[5]{\frac{4}{5}}\right)^{10} = 64$，
所以在$10° C$的冰箱中的保鲜时间为$64 h$。