《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知函数 $ f(x)=x^{2}-mx(m\gt0) $ 在区间 $ [0,2] $ 上的最小值为 $ g(m) $.求函数 $ g(m) $ 的解析式.

答案： 10.解 因为$f(x)=x^{2}-mx=(x-\frac{m}{2})^{2}-\frac{m^{2}}{4}(m＞0)$，所以当$0＜\frac{m}{2}\leqslant2$，即$0＜m\leqslant4$时，
$g(m)=f(\frac{m}{2})=-\frac{m^{2}}{4}$.
当$\frac{m}{2}＞2$，即$m＞4$时，函数$f(x)=(x-\frac{m}{2})^{2}-\frac{m^{2}}{4}$在区间$[0,2]$上单调递减，此时$g(m)=f(2)=4-2m$.
综上可知，$g(m)=\begin{cases}-\frac{m^{2}}{4},0＜m\leqslant4,\\4-2m,m＞4.\end{cases}$

11. 若定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 满足:对任意 $ x_{1},x_{2}\in\mathbf{R} $,有 $ f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})+1 $,则下列说法一定正确的是(C)

A.$ f(x)-1 $ 为奇函数
B.$ f(x)-1 $ 为偶函数
C.$ f(x)+1 $ 为奇函数
D.$ f(x)+1 $ 为偶函数

答案： 11.C $\because$对任意$x_1,x_2\in\mathbf{R}$，有$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)+1$，
令$x_1=x_2=0$，得$f(0)=-1$.
令$x_1=x,x_2=-x$，得$f(0)=f(x)+f(-x)+1$.
$\therefore f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]$，
$\therefore f(x)+1$为奇函数.

12. 设定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数 $ f(x) $ 在 $ (0,+\infty) $ 上单调递增,且 $ f(1)=0 $,则不等式 $ x[f(x)-f(-x)]\lt0 $ 的解集为(D)

A.$ \{x|-1\lt x\lt0 $,或 $ x\gt1\} $
B.$ \{x|x\lt - 1 $,或 $ 0\lt x\lt1\} $
C.$ \{x|x\lt - 1 $,或 $ x\gt1\} $
D.$ \{x|-1\lt x\lt0 $,或 $ 0\lt x\lt1\} $

答案： 12.D 

13. 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x^{2}+2x,x\geqslant0\\x^{2}-2x,x\lt0\end{cases}$,若 $ f(x - 1)\lt f(2x + 1) $,则 $ x $ 的取值范围为 ______ .

答案： 13.$(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)$ 若$x＞0$，则$-x＜0$，
$f(-x)=(-x)^{2}+2x=x^{2}+2x=f(x)$，
同理可得，当$x＜0$时，$f(-x)=f(x)$，
且$x=0$时，$f(0)=f(0)$，所以$f(x)$是偶函数.
因为当$x＞0$时，函数$f(x)$单调递增，
所以不等式$f(x-1)＜f(2x+1)$等价于$|x-1|＜|2x+1|$，
整理得$x(x+2)＞0$，解得$x＞0$或$x＜-2$.

14. (多选)函数 $ f(x) $ 的图象关于点 $ P(a,b) $ 成中心对称图形的充要条件是函数 $ y = f(x + a)-b $ 为奇函数,下列函数有对称中心的是(ABD)

A.$ f(x)=x $
B.$ f(x)=x^{3}-3x^{2} $
C.$ f(x)=x^{4}+x^{2} $
D.$ f(x)=\frac{1}{x - 1} $

答案： 14.ABD 

15. 定义在 $ (-\infty,0)\cup(0,+\infty) $ 上的函数 $ y = f(x) $ 满足 $ f(xy)=f(x)-f\left(\frac{1}{y}\right) $,且函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty,0) $ 上单调递减.
(1) 求 $ f(-1) $,并证明函数 $ y = f(x) $ 是偶函数;
(2) 若 $ f(2)=1 $,解不等式 $ f\left(2-\frac{4}{x}\right)-f\left(\frac{1}{x}\right)\leqslant1 $.

答案： 15.解
(1)令$y=\frac{1}{x}\neq0$，则$f(x·\frac{1}{x})=f(x)-f(\frac{1}{x})$，
得$f(1)=f(x)-f(\frac{1}{x})=0$，
再令$x=1,y=-1$，可得$f(-1)=f(1)-f(-1)$，
得$2f(-1)=f(1)=0$，
令$y=-1$，可得$f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x)$，
又该函数的定义域关于原点对称，
所以$f(x)$是偶函数.
(2)因为$f(2)=1$，又该函数为偶函数，所以$f(-2)=1$.
因为函数$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减.又$f(2-\frac{4}{x})-f(\frac{1}{x})=f(\frac{2x-4}{x}· x)=f(2x-4)$，
所以$f(|2x-4|)\leqslant f(2)$，
即$\begin{cases}|2x-4|\neq0,\\|2x-4|\leqslant2,\end{cases}$
解得$1\leqslant x＜2$或$2＜x\leqslant3$.
所以不等式$f(2-\frac{4}{x})-f(\frac{1}{x})\leqslant1$的解集为$[1,2)\cup(2,3]$.