《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 已知集合 $ A = \{ x | x $ 是菱形或矩形 $\}, B = \{ x | $ $ x $ 是矩形 $\}$，则 $\complement_{A}B$ 等于(B)

A.$\{ x | x $ 是菱形 $\}$
B.$\{ x | x $ 是内角都不是直角的菱形 $\}$
C.$\{ x | x $ 是正方形 $\}$
D.$\{ x | x $ 是邻边都不相等的矩形 $\}$

答案： 1.B　由集合A={x|x是菱形或矩形},B={x|x是矩形},则∁_AB={x|x是内角都不是直角的菱形}.

2. 已知集合 $ U = \{ - 2, - 1,0,1,2,3\}, A = \{ - 1,0, $ $ 1\}, B = \{ 1,2\}$，则 $\complement_{U}(A\cup B)$ 等于(A)

A.$\{ - 2,3\}$
B.$\{ - 2,2,3\}$
C.$\{ - 2, - 1,0,3\}$
D.$\{ - 2, - 1,0,2,3\}$

答案： 2.A
∵A={−1,0,1},B={1,2},
∴A∪B={−1,0,1,2}.
　又U={−2,−1,0,1,2,3},
∴∁_U(A∪B)={−2,3}.

3. 已知 $ A = \{ x | x + 1 ＞ 0\}, B = \{ - 2, - 1,0,1\}$，则 $(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B$ 等于(A)

A.$\{ - 2, - 1\}$
B.$\{ - 2\}$
C.$\{ - 1,0,1\}$
D.$\{ 0,1\}$

答案： 3.A　因为集合A={x|x＞−1},所以∁_RA={x|x≤−1},则(∁_RA)∩B={x|x≤−1}∩{−2,−1,0,1}={−2,−1}.

4. 已知全集 $ U = \mathbf{R}$，集合 $ A = \{ x | x ＜ - 1$，或 $ x ＞ $ $ 4\}, B = \{ x | - 2 \leqslant x \leqslant 3\}$，那么阴影部分表示的集合为(D)


A.$\{ x | - 2 \leqslant x ＜ 4\}$
B.$\{ x | x \leqslant 3$，或 $ x \geqslant 4\}$
C.$\{ x | - 2 \leqslant x \leqslant - 1\}$
D.$\{ x | - 1 \leqslant x \leqslant 3\}$

答案： 4.D　由题意得,阴影部分所表示的集合为(∁_UA)∩B={x|−1≤x≤4}∩{x|−2≤x≤3}={x|−1≤x≤3}.

5. 已知全集 $ U = \{ 1,2,3,4\}$，且 $\complement_{U}(A\cup B) =$ $\{ 4\}, B = \{ 1,2\}$，则 $ A\cap (\complement_{U}B)$ 等于(A)

A.$\{ 3\}$
B.$\{ 4\}$
C.$\{ 3,4\}$
D.$\varnothing$

答案： 5.A　因为全集U={1,2,3,4},且∁_U(A∪B)={4},
　所以A∪B={1,2,3},
　又B={1,2},所以∁_UB={3,4},A={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},所以A∩(∁_UB)={3}.

6.(多选)下列说法中，当 $ U $ 为全集时，正确的是(ACD)

A.若 $ A\cap B = \varnothing$，则 $(\complement_{U}A)\cup (\complement_{U}B) = U$
B.若 $ A\cap B = \varnothing$，则 $ A = \varnothing$ 或 $ B = \varnothing$
C.若 $ A\cup B = U$，则 $(\complement_{U}A)\cap (\complement_{U}B) = \varnothing$
D.若 $ A\cup B = \varnothing$，则 $ A = B = \varnothing$

答案： 6.ACD

7. 设 $ U = \{ 0,1,2,3\}, A = \{ x \in U | x^{2} + mx = 0\}$，若 $\complement_{U}A = \{ 1,2\}$，则实数 $ m =$−3。

答案： 7.−3　由题意可知,A={x∈U|x²+mx=0}={0,3},
　即0,3为方程x²+mx=0的两个根，所以m=−3.

8. 已知全集 $ U = \{ x | 1 \leqslant x \leqslant 5\}, A = \{ x | 1 \leqslant x ＜ a\}$，若 $\complement_{U}A = \{ x | 2 \leqslant x \leqslant 5\}$，则 $ a =$2。

答案： $8.2$　　
∵$A={x|1≤x＜a},∁_UA={x|2≤x≤5},$　　
∴$A∪(∁_UA)=U={x|1≤x≤5},$且$A∩(∁_UA)=∅,$　　
∴$a=2.$　　

9. 已知集合 $ U = \{ x | x \leqslant 4\}$，集合 $ A = \{ x | - 2 ＜ $ $ x ＜ 3\}$，集合 $ B = \{ x | - 3 \leqslant x \leqslant 2\}$。
求：$ A\cap B$；$(\complement_{U}A)\cup B$；$ A\cap (\complement_{U}B)$；$(\complement_{U}A)$ $\cup (\complement_{U}B)$；$\complement_{U}(A\cap B)$。

答案： $9.$解$　$因为$U={x|x≤4},A={x|−2＜x＜3},B={x|−3≤x≤2},$　　
$　$所以$A∩B={x|−2＜x≤2},∁_UA={x|x≤−2,或3≤x≤4},$　　
$　∁_UB={x|x＜−3,或2＜x≤4},$　　
$　$所以$(∁_UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4},$　　
$　A∩(∁_UB)={x|2＜x＜3},$　　
$　(∁_UA)∪(∁_UB)={x|x≤−2,或2＜x≤4},$　　
$　∁_U(A∩B)={x|x≤−2,或2＜x≤4}.$