《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 设$x^{a}=y^{b}=z^{c}$，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，求证：$z = xy$。

答案： 解：设$x^{a}=y^{b}=z^{c}=k$（$k\gt0$且$k\neq1$）。
则$x = k^{\frac{1}{a}}$，$y = k^{\frac{1}{b}}$，$z = k^{\frac{1}{c}}$。
所以$xy=k^{\frac{1}{a}}× k^{\frac{1}{b}}$。
根据指数运算法则$m^n× m^p = m^{n + p}$，可得$xy = k^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$。
又因为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$。
所以$xy = k^{\frac{1}{c}}$。
而$z = k^{\frac{1}{c}}$。
所以$z = xy$。
综上，得证。

11. 已知函数$f(x)=\ln(\sqrt{1 + x^{2}}-x)+2$，则$f(\lg5)+f(\lg\frac{1}{5})$等于(A)

A.$4$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 11.A $ \because f ( x ) = \ln ( \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } - x ) + 2 $，$ \therefore f ( x ) + f ( - x ) = \ln ( \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } - x ) + 2 + \ln ( \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } + x ) + 2 = \ln 1 + 4 = 4 $，则 $ f ( \lg 5 ) + f ( \lg \frac { 1 } { 5 } ) = f ( \lg 5 ) + f ( - \lg 5 ) = 4 $.

12. 若$\frac{1}{m}=\log_{3}5$，则$5^{m}+5^{-m}$的值为(B)

A.$\frac{8}{3}$
B.$\frac{10}{3}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{26}{5}$

答案： 12.B 

13. 根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限$M$约为$10^{10}$，目前人类可预测的地面危机总数$N$约为$3^{6}×2^{30}$。则下列各数中与$\frac{M}{N}$最接近的是(B)(参考数据：$\lg2\approx0.30,\lg3\approx0.48$)

A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{1}{100}$
C.$\frac{1}{1000}$
D.$\frac{1}{10000}$

答案： 13.B $ \because $汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限 M 约为 $ 1 0 ^ { 1 0 } $，目前人类可预测的地面危机总数 N 约为 $ 3 ^ { 6 } × 2 ^ { 3 0 } $.$ \therefore \frac { M } { N } = \frac { 1 0 ^ { 1 0 } } { 3 ^ { 6 } × 2 ^ { 3 0 } } $，
两边取常用对数，可得 $ \lg \frac { M } { N } = \lg 1 0 ^ { 1 0 } - \lg 3 ^ { 6 } - \lg 2 ^ { 3 0 } \approx 1 0 - 6 × 0 . 4 8 - 3 0 × 0 . 3 0 = - 1 . 8 8 $.$ \therefore \frac { M } { N } \approx 1 0 ^ { - 1 . 8 8 } \approx \frac { 1 } { 1 0 0 } $.

14. 已知$(\frac{1}{7})^{a}=\frac{1}{3},\log_{7}4 = b$，则$\log_{49}48=$$\frac{a + 2b}{2}$（用含$a,b$的式子表示）。

答案： 14.$ \frac { a + 2 b } { 2 } $ 

15. 已知$\log_{a}x + 3\log_{x}a-\log_{x}y = 3(a\gt1)$，若设$x = a^{t}$，试用$a,t$表示$y$。

答案： 解：
因为$x = a^{t}$，所以$\log_{a}x=t$。
由换底公式$\log_{x}a=\frac{1}{\log_{a}x}$，可得$\log_{x}a = \frac{1}{t}$。
原方程$\log_{a}x + 3\log_{x}a-\log_{x}y = 3$可化为$t + \frac{3}{t}-\log_{x}y = 3$。
移项得$\log_{x}y=t + \frac{3}{t}-3=\frac{t^{2}-3t + 3}{t}$。
再根据换底公式$\log_{x}y=\frac{\log_{a}y}{\log_{a}x}$，即$\frac{\log_{a}y}{t}=\frac{t^{2}-3t + 3}{t}$。
两边同乘$t$得$\log_{a}y=t^{2}-3t + 3$。
根据对数定义$y = a^{\log_{a}y}$，所以$y=a^{t^{2}-3t + 3}$。
综上，$y$用$a,t$表示为$y = a^{t^{2}-3t + 3}$。