《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 不等式 $ a^{2}+1\geq 2a $ 中等号成立的条件是(B)

A.$ a=\pm 1 $
B.$ a=1 $
C.$ a=-1 $
D.$ a=0 $

答案： 1.B 当$a^2 + 1 = 2a$，即$(a - 1)^2 = 0$，即$a = 1$时，等号成立.

2. 已知 $ x\lt 0 $，则 $ x+\frac{1}{x}-2 $ 有(C)

A.最大值 0
B.最小值 0
C.最大值 -4
D.最小值 -4

答案： 2.C $\because x ＜ 0$，$\therefore -x ＞ 0$，$\therefore x + \frac{1}{x} - 2 = -[(-x) + (\frac{1}{-x})] - 2 \leq -2\sqrt{(-x) · (\frac{1}{-x})} - 2 = -4$.
当且仅当$-x = \frac{1}{-x}$，即$x = -1$时“$=$”成立.
$\therefore x + \frac{1}{x} - 2(x ＜ 0)$有最大值为$-4$.

3. 设 $ x,y $ 满足 $ x+y=40 $，且 $ x,y $ 都是正数，则 $ xy $ 的最大值是(A)

A.400
B.100
C.40
D.20

答案： 3.A $\because \sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2}(x ＞ 0,y ＞ 0)$，
$\therefore xy \leq (\frac{x + y}{2})^2 = (\frac{40}{2})^2 = 400$.
当且仅当$x = y = 20$时，等号成立.
$\therefore xy$的最大值是$400$.

4. 设 $ x\gt 0 $，则 $ 3-3x-\frac{1}{x} $ 的最大值是(D)

A.3
B.$ 3-2\sqrt{2} $
C.-1
D.$ 3-2\sqrt{3} $

答案： 4.D $\because x ＞ 0$，$\therefore 3x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{3x · \frac{1}{x}} = 2\sqrt{3}$，当且仅当$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$时，等号成立，
$\therefore -(3x + \frac{1}{x}) \leq -2\sqrt{3}$，
则$3 - 3x - \frac{1}{x} \leq 3 - 2\sqrt{3}$，即$3 - 3x - \frac{1}{x}$的最大值为$3 - 2\sqrt{3}$.

5. (多选)下列不等式中正确的是(BD)

A.$ a^{2}+1\gt 2a $
B.$ \left|x+\frac{1}{x}\right|\geq 2 $
C.$ \frac{a+b}{\sqrt{ab}}\leq 2 $
D.$ x^{2}+\frac{1}{x^{2}+1}\geq 1 $

答案： 5.BD 由基本不等式可知B,D正确.

6. (多选)下列条件可使 $ \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq 2 $ 成立的有(ACD)

A.$ ab\gt 0 $
B.$ ab\lt 0 $
C.$ a\gt 0,b\gt 0 $
D.$ a\lt 0,b\lt 0 $

答案： 6.ACD 根据基本不等式的条件，$a$，$b$同号，则$\frac{b}{a} ＞ 0$，$\frac{a}{b} ＞ 0$.

7. 已知 $ 0\lt x\lt 1 $，则 $ x(1-x) $ 的最大值为$\frac{1}{4}$，此时 $ x= $$\frac{1}{2}$。

答案： 7.$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$ 因为$0 ＜ x ＜ 1$，所以$1 - x ＞ 0$，所以$x(1 - x) \leq [\frac{x + (1 - x)}{2}]^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，当且仅当$x = 1 - x$，即$x = \frac{1}{2}$时“$=$”成立，即当$x = \frac{1}{2}$时，$x(1 - x)$取得最大值$\frac{1}{4}$.

8. 若 $ a\in R $，则 $ \frac{a^{2}+2}{\sqrt{a^{2}+1}} $ 的最小值是2，此时 $ a= $0。

答案： 8.2 $0 \frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{a^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} \geq 2\sqrt{\sqrt{a^2 + 1} · \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}}} = 2$，
当且仅当$\sqrt{a^2 + 1} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}}$，
即$a = 0$时，等号成立.

9. 已知 $ x\gt 3 $，求 $ \frac{4}{x-3}+x $ 的最小值。

答案： 9.解 因为$x ＞ 3$，所以$x - 3 ＞ 0$，
所以$\frac{4}{x - 3} + x = \frac{4}{x - 3} + (x - 3) + 3 \geq 2\sqrt{\frac{4}{x - 3} · (x - 3)} + 3 = 2\sqrt{4} + 3 = 7$，
当且仅当$\frac{4}{x - 3} = x - 3$，即$x = 5$时，等号成立.
所以$\frac{4}{x - 3} + x$的最小值为$7$.