《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知幂函数 $ f(x) = (m^{2} - 5m + 7)x^{m - 1} $ 为偶函数.
(1) 求 $ f(x) $ 的解析式；
(2) 若 $ g(x) = f(x) - ax - 3 $ 在 $ [1,3] $ 上不是单调函数，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 10.解　
(1)由$m^{2} - 5m + 7 = 1$可得$m = 2$或$m = 3$，
　又$f(x)$为偶函数，则$m = 3$，所以$f(x) = x^{2}$.
(2)$g(x) = x^{2} - ax - 3 = (x - \frac{a}{2})^{2} - 3 - \frac{a^{2}}{4}$在$[1,3]$上不单调，
　则对称轴$x = \frac{a}{2}$满足$1 ＜ \frac{a}{2} ＜ 3$，即$2 ＜ a ＜ 6$.
　所以实数$a$的取值范围为$(2,6)$.

11. 在同一坐标系内，函数 $ y = x^{a}(a \neq 0) $ 和 $ y = ax - \frac{1}{a} $ 的图象可能是(C)

答案： 11.C　选项A中，幂函数的指数$a ＜ 0$，则函数$y = ax - \frac{1}{a}$应为减函数，A错误；
　选项B中，幂函数的指数$a ＞ 1$，则函数$y = ax - \frac{1}{a}$应为增函数，B错误；
　选项D中，幂函数的指数$a ＜ 0$，则$- \frac{1}{a} ＞ 0$，函数$y = ax - \frac{1}{a}$与$y$轴交点的纵坐标应为正，D错误.

12. 已知 $ a,b \in \mathbf{R} $，若 $ a ＜ b $，则(C)

A.$ a ＜ 2b $
B.$ ab ＜ b^{2} $
C.$ a^{3} ＜ b^{3} $
D.$ a^{-1} ＜ b^{-1} $

答案： 12.C　当$a = - 2,b = - 1$时，有$a = 2b$，故A错误；
　当$a = - 2,b = - 1$时，有$ab ＞ b^{2}$，故B错误；
　构造函数$y = x^{3}$为增函数，故得到$a^{3} ＜ b^{3}$，故C正确；
　当$a = - 2,b = - 1$时，有$a^{- 1} ＞ b^{- 1}$，故D错误.

13. 有四个幂函数：① $ f(x) = x^{-1} $；② $ f(x) = x^{-2} $；③ $ f(x) = x^{3} $；④ $ f(x) = x^{\frac{1}{3}} $.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1) 偶函数；
(2) 值域是 $ \{ y|y \neq 0 \} $；
(3) 在 $ (-\infty,0) $ 上单调递增.
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是②(填序号).

答案： 13.②　对于函数①，$f(x) = x^{- 1}$，这是一个奇函数，值域是$\{y|y \neq 0\}$，在$(- \infty,0)$上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，$f(x) = x^{- 2}$，这是一个偶函数，其值域是$\{y|y ＞ 0\}$，在$(- \infty,0)$上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件.

14. 为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为 $ y = x^{\alpha} $($ \alpha $ 为常数)，如“$ 4 $”通过加密后得到密文“$ 2 $”.若接收方接到密文“$ 3 $”，则解密后得到的明文是9.

答案： 14.9　由题意，得$2 = 4^{a}$，解得$a = \frac{1}{2}$，
　则$y = x^{\frac{1}{2}}$，由$x^{\frac{1}{2}} = 3$，得$x = 9$，即明文是9.

15. 已知幂函数 $ y = x^{3m - 9}(m \in \mathbf{N}^{*}) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称且在 $ (0,+\infty) $ 上单调递减，求满足 $ (a + 1)^{-\frac{m}{3}} ＜ (3 - 2a)^{-\frac{m}{3}} $ 的 $ a $ 的取值范围.

答案： 15.解　因为函数在$(0, + \infty)$上单调递减，所以$3m - 9 ＜ 0$，
　解得$m ＜ 3$.又因为$m \in N^{*}$，所以$m = 1,2$.
　因为函数的图象关于$y$轴对称，
　所以$3m - 9$为偶数，故$m = 1$.
　则原不等式可化为$(a + 1)^{- \frac{1}{3}} ＜ (3 - 2a)^{- \frac{1}{3}}$.
　因为$y = x^{- \frac{1}{3}}$在$(- \infty,0)$，$(0, + \infty)$上均单调递减，
　所以$a + 1 ＞ 3 - 2a ＞ 0$或$3 - 2a ＜ a + 1 ＜ 0$或$a + 1 ＜ 0 ＜ 3 - 2a$，
　解得$\frac{2}{3} ＜ a ＜ \frac{3}{2}$或$a ＜ - 1$.
　故$a$的取值范围是$\{a|a ＜ - 1或\frac{2}{3} ＜ a ＜ \frac{3}{2}\}$