《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

11. 设函数 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}x - 1,x\geqslant 0,\\ \frac{1}{x},x＜0,\end{array}\right. $ 若 $ f(a)=a $，则实数 $ a $ 的值为( )

A.$\pm 1$
B.$-1$
C.$-2$ 或 $-1$
D.$\pm 1$ 或 $-2$

答案： 11.B　由题意知，f(a)=a，当a≥0时，有$\frac{1}{2}a - 1=a，$解得a= -2，不满足条件，舍去；当a＜0时，有$\frac{1}{a}=a，$解得a=1(舍去)或a= -1。
所以实数a的值是 -1。

12. AQI 表示空气质量指数，AQI 的数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 的数值不大于 100 时称空气质量为“优良”。如图是某地 3 月 1 日到 12 日 AQI 的数值的统计数据，图中点 $ A $ 表示 3 月 1 日的 AQI 的数值为 201。则下列叙述不正确的是(C)


A.这 12 天中有 6 天空气质量为“优良”
B.这 12 天中空气质量最好的是 3 月 9 日
C.从 3 月 9 日到 12 日，空气质量越来越好
D.从 3 月 4 日到 9 日，空气质量越来越好

答案： 12.C

13. 已知函数 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3x^{2}-2x,x\geqslant 1,\\ -2x^{2}+3,x＜1,\end{array}\right. $ 则使 $ f(x)＜2 $ 成立的 $ x $ 的值组成的集合为 ______ 。

答案： $13.\{x|x＜-\frac{\sqrt{2}}{2}或\frac{\sqrt{2}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{7}}{3}\} $由题意可得$\begin{cases}x\geqslant1,\\3x^{2}-2x＜2\end{cases}$或$\begin{cases}x＜1,\\ - 2x^{2}+3＜2.\end{cases} $由$\begin{cases}x\geqslant1,\\3x^{2}-2x＜2,\end{cases}$解得$1≤x＜\frac{1+\sqrt{7}}{3}；$由$\begin{cases}x＜1,\\ - 2x^{2}+3＜2,\end{cases}$解得$x＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}＜x＜1。$
综上所述，使f(x)＜2成立的x的值组成的集合为$\{x|x＜-\frac{\sqrt{2}}{2}或\frac{\sqrt{2}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{7}}{3}\}$

14. 设 $ x\in \mathbf{R} $，则函数 $ y = 2|x - 1| - 3|x| $ 的值域为\{y|y\leqslant2\} 。

答案：
$14.\{y|y\leqslant2\} $当x≥1时，y=2(x - 1)-3x= -x - 2；
当0≤x＜1时，y= -2(x - 1)-3x= -5x + 2；
当x＜0时，y= -2(x - 1)+3x=x + 2。
故$y=\begin{cases}-x - 2,x\geqslant1,\\ -5x + 2,0\leqslant x＜1,\\x + 2,x＜0.\end{cases}$
根据函数解析式作出函数图象，如图所示。

由图象可以看出，函数的值域为$\{y|y\leqslant2\}。$

15. 如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系。骑车者 9 时离开家，15 时回到家。根据这个曲线图，请你回答下列问题：

(1) 最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2) 何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3) 第一次休息时，离家多远？
(4) $ 11:00 $ 到 $ 12:00 $ 他骑了多少千米？
(5) 他在 $ 9:00\sim 10:00 $ 和 $ 10:00\sim 10:30 $ 的平均速度分别是多少？
(6) 他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？

答案： 15.解
(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米。
(2)10:30开始第一次休息，休息了半小时。
(3)第一次休息时，离家17千米。
(4)11:00至12:00他骑了13千米。
(5)9:00~10:00的平均速度是10千米/时；10:00~10:30的平均速度是14千米/时。
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形。