《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知函数 $ f(x) = \lg(x + 1) - \lg(1 - x) $。
(1) 求函数 $ f(x) $ 的定义域；
(2) 判断函数 $ f(x) $ 的奇偶性。

答案： 10.解
(1)依题意有$\begin{cases}x + 1 ＞ 0,\\1 - x ＞ 0,\end{cases}$解得$-1 ＜ x ＜ 1$，
故函数$f(x)$的定义域为$(-1,1)$。
(2)由
(1)知函数的定义域为$(-1,1)$，关于原点对称。
因为$f(-x) = \lg(1 - x) - \lg(1 + x) = -f(x)$，
所以$f(x)$为奇函数。

11. 函数 $ y = \frac{1}{\log_{2}(x - 2)} $ 的定义域为(C)

A.$ (-\infty, 2) $
B.$ (2, +\infty) $
C.$ (2, 3) \cup (3, +\infty) $
D.$ (2, 4) \cup (4, +\infty) $

答案： 11.C 要使函数有意义，则$\begin{cases}x - 2 ＞ 0,\\\log_{2}(x - 2) \neq 0,\end{cases}$
解得$x ＞ 2$，且$x \neq 3$，即函数的定义域为$(2,3) \cup (3, + \infty)$。

12. 设函数 $ f(x) = f(\frac{1}{x})\lg x + 1 $，则 $ f(10) $ 的值是(A)

A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ 10 $
D.$ \frac{1}{10} $

答案： 12.A $\because f(x) = f(\frac{1}{x})\lg x + 1$，将式中$x$换成$\frac{1}{x}$
$\therefore f(\frac{1}{x}) = f(x)\lg\frac{1}{x} + 1 = -f(x)\lg x + 1$。
由以上两式，得$f(x) = \frac{1 + \lg x}{1 + (\lg x)^{2}}$，
$\therefore f(10) = \frac{1 + \lg 10}{1 + (\lg 10)^{2}} = 1$。

13. 设 $ f(x) $ 是对数函数，且 $ f(\sqrt[3]{4}) = -\frac{2}{3} $，那么 $ f(\sqrt{2}) $ 等于(C)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ -\frac{1}{2} $
D.$ -\frac{1}{4} $

答案： 13.C 设$f(x) = \log_{a}x (a ＞ 0$且$a \neq 1)$。
由$f(\sqrt[3]{4}) = -\frac{2}{3}$，解得$a = \frac{1}{2}$，$\therefore f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x$。
$\therefore f(\sqrt{2}) = \log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2} = -\frac{1}{2}$。

14. 函数 $ f(x) = \lg(2kx^{2} - kx + \frac{3}{8}) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，则实数 $ k $ 的取值范围是[0,3)。

答案： 14.[0,3) 依题意，得$2kx^{2} - kx + \frac{3}{8} ＞ 0$的解集为$\mathbf{R}$，
即不等式$2kx^{2} - kx + \frac{3}{8} ＞ 0$恒成立，
当$k = 0$时，$\frac{3}{8} ＞ 0$恒成立，$\therefore k = 0$满足条件；
当$k \neq 0$时，则$\begin{cases}k ＞ 0,\\\Delta = k^{2} - 4 × 2k × \frac{3}{8} ＜ 0,\end{cases}$
解得$0 ＜ k ＜ 3$。
综上，$k$的取值范围是$[0,3)$。

15. 已知函数 $ f(x) = \log_{a}(3 - ax)(a ＞ 0, 且 a \neq 1) $。当 $ x \in [0, 2] $ 时，函数 $ f(x) $ 恒有意义，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 15.解 设$t(x) = 3 - ax$，
$\because a ＞ 0$，且$a \neq 1$，
$\therefore t(x) = 3 - ax$为减函数，
则当$x \in [0,2]$时，$t(x)$的最小值为$3 - 2a$。
$\because$当$x \in [0,2]$时，$f(x)$恒有意义，
即当$x \in [0,2]$时，$3 - ax ＞ 0$恒成立。
$\therefore 3 - 2a ＞ 0$，$\therefore a ＜ \frac{3}{2}$。
又$a ＞ 0$且$a \neq 1$，$\therefore 0 ＜ a ＜ 1$或$1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$，
$\therefore$实数$a$的取值范围为$(0,1) \cup (1,\frac{3}{2})$。