《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 解关于 $ x $ 的不等式 $ x^{2} - ax - 2a^{2} ＜ 0(a \in \mathbf{R})$.

答案： 10.解 原不等式可化为$(x - 2a)(x + a)＜0$.
对应的一元二次方程的根为$x_1 = 2a$，$x_2 = -a$.
①当$a＞0$时，$x_1＞x_2$，
不等式的解集为$\{x|-a＜x＜2a\}$；
②当$a = 0$时，原不等式化为$x^2＜0$，解集为$\varnothing$；
③当$a＜0$时，$x_1＜x_2$，不等式的解集为$\{x|2a＜x＜-a\}$.
综上，当$a＞0$时，不等式的解集为$\{x|-a＜x＜2a\}$；
当$a = 0$时，不等式的解集为$\varnothing$；
当$a＜0$时，不等式的解集为$\{x|2a＜x＜-a\}$.

11. (多选)下列不等式的解集为 $\mathbf{R}$ 的有(AC)

A.$ x^{2} + x + 1 \geq 0 $
B.$ x^{2} - 2\sqrt{5}x + \sqrt{5} ＞ 0 $
C.$ x^{2} + 6x + 10 ＞ 0 $
D.$ 2x^{2} - 3x + 4 ＜ 1 $

答案： 11.AC A中$\Delta=1^2 - 4×1＜0$，满足条件；
B中$\Delta=(-2\sqrt{5})^2 - 4×\sqrt{5}＞0$，解集不为$\mathbf{R}$；
C中$\Delta=6^2 - 4×10＜0$，满足条件；
D中不等式可化为$2x^2 - 3x + 3＜0$，所对应的二次函数开口向上，
显然不可能.

12. 在 $\mathbf{R}$ 上定义运算“$\odot$”：$ a \odot b = ab + 2a + b $，则满足 $ x \odot (x - 2) ＜ 0 $ 的实数 $ x $ 的取值范围为(B)

A.$\{ x|0 ＜ x ＜ 2\}$
B.$\{ x|-2 ＜ x ＜ 1\}$
C.$\{ x|x ＜ -2$ 或 $x ＞ 1\}$
D.$\{ x|-1 ＜ x ＜ 2\}$

答案： 12.B 根据给出的定义得，$x\odot(x - 2)=x(x - 2)+2x+(x - 2)=x^2 +x - 2=(x + 2)(x - 1)$，又$x\odot(x - 2)＜0$，
则$(x + 2)(x - 1)＜0$，
故不等式的解集是$\{x|-2＜x＜1\}$.

13. 关于 $ x $ 的不等式 $ (mx - 1)(x - 2) ＞ 0 $，若此不等式的解集为 $\{ x|\frac{1}{m} ＜ x ＜ 2\}$，则 $ m $ 的取值范围是$\{m|m＜0\}$.

答案： 13.$\{m|m＜0\}$ 由题意知$m＜0$，
$\because$不等式$(mx - 1)(x - 2)＞0$的解集为$\begin{cases}x\mid\frac{1}{m}＜x＜2\end{cases}$
$\therefore$方程$(mx - 1)(x - 2)=0$的两个实数根为$\frac{1}{m}$和$2$，
且$\begin{cases}m＜0,\frac{1}{m}＜2,\end{cases}$解得$m＜0$，
$\therefore m$的取值范围是$\{m|m＜0\}$.

14. 设不等式 $ x^{2} - 2ax + a + 2 \leq 0 $ 的解集为 $ A $，若 $ A \subseteq \{ x|1 \leq x \leq 3\}$，则 $ a $ 的取值范围为$-1＜a\leqslant\frac{11}{5}$.

答案： 14.$-1＜a\leqslant\frac{11}{5}$ 设$y = x^2 - 2ax + a + 2$，
因为不等式$x^2 - 2ax + a + 2\leqslant0$的解集为$A$，
且$A\subseteq\{x|1\leqslant x\leqslant3\}$，
所以对于方程$x^2 - 2ax + a + 2 = 0$，
若$A=\varnothing$，则$\Delta=4a^2 - 4(a + 2)＜0$，
即$a^2 - a - 2＜0$，
解得$-1＜a＜2$；
若$A\neq\varnothing$，则$\begin{cases}\Delta=4a^2 - 4(a + 2)\geqslant0,\\1^2 - 2a + a + 2\geqslant0,\\3^2 - 3×2a + a + 2\geqslant0,\\1\leqslant a\leqslant3,\end{cases}$
即$\begin{cases}a\geqslant2或a\leqslant - 1,\\a\leqslant3,\\a\leqslant\frac{11}{5},\\1\leqslant a\leqslant3,\end{cases}$
所以$2\leqslant a\leqslant\frac{11}{5}$.
综上，$a$的取值范围为$-1＜a\leqslant\frac{11}{5}$.

15. 解关于 $ x $ 的不等式 $ x^{2} - 2ax + 2 \leq 0 $.

答案： 15.解 因为$\Delta=4a^2 - 8$，所以当$\Delta＜0$，即$-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}$时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数$y = x^2 - 2ax + 2$的图象开口向上，所以原不等式的解集为$\varnothing$；
当$\Delta = 0$，即$a=\pm\sqrt{2}$时，原不等式对应的方程有两个相等实根.
当$a=\sqrt{2}$时，原不等式的解集为$\{x|x=\sqrt{2}\}$；
当$a=-\sqrt{2}$时，原不等式的解集为$\{x|x=-\sqrt{2}\}$；
当$\Delta＞0$，即$a＞\sqrt{2}$或$a＜-\sqrt{2}$时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为$x_1=a-\sqrt{a^2 - 2}$，$x_2=a+\sqrt{a^2 - 2}$，且$x_1＜x_2$，所以原不等式的解集为$\{x|a-\sqrt{a^2 - 2}\leqslant x\leqslant a+\sqrt{a^2 - 2}\}$.
综上所述，当$-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}$时，原不等式的解集为$\varnothing$；
当$a=\sqrt{2}$时，原不等式的解集为$\{x|x=\sqrt{2}\}$；
当$a=-\sqrt{2}$时，原不等式的解集为$\{x|x=-\sqrt{2}\}$；
当$a＞\sqrt{2}$或$a＜-\sqrt{2}$时，
原不等式的解集为$\{x|a-\sqrt{a^2 - 2}\leqslant x\leqslant a+\sqrt{a^2 - 2}\}$.