《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知集合 $ A = \{ x | a ＜ x ＜ a + 1\}, B = \{ x | 0 \leqslant $ $ x \leqslant 2\}$。
(1) 若 $ a = 1$，求 $ A\cup B$；
(2) 在① $ A\cap B = \varnothing$，② $(\complement_{\mathbf{R}}B)\cap A = \varnothing$，③ $ B\cup (\complement_{\mathbf{R}}A) = \mathbf{R}$ 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： $10.$解$　$　　
$(1)$当$a=1$时$,A={x|1＜x＜2},$　　
$　B={x|0≤x≤2},$所以$A∪B={x|0≤x≤2}.$　　
$(2)$若选$①A∩B=∅,$则$a+1≤0$或$a≥2,$　　
$　$解得$a≤−1$或$a≥2.$　　
$　$若选$②(∁_RB)∩A=∅,∁_RB={x|x＜0或x＞2},$　　
$　$所以$\begin{cases}a\geq0,\\a+1\leq2,\end{cases}$解得$0≤a≤1.$　　
$　$若选$③U(∁_RA)=R,∁_RA={x|x≤a或x≥a+1},$　　
$　$所以$\begin{cases}a\geq0,\\a+1\leq2,\end{cases}$解得$0≤a≤1.$　　

11.(多选)可以推出 $ A \subseteq B$ 的是(AB)

A.$ A\cap B = A$
B.$ A\cap (\complement_{U}B) = \varnothing$
C.$ A\cup B = A$
D.$ B \subseteq \complement_{U}A$

答案： 11.AB　

12. 设全集 $ U = \mathbf{R}$，集合 $ A = \{ x | x \leqslant 1$，或 $ x \geqslant 3\}$，集合 $ B = \{ x | k ＜ x ＜ k + 1,k \in \mathbf{R}\}$，且 $ B\cap $ $(\complement_{U}A) \neq \varnothing$，则(C)

A.$ k ＜ 0$ 或 $ k ＞ 3$
B.$ 2 ＜ k ＜ 3$
C.$ 0 ＜ k ＜ 3$
D.$ - 1 ＜ k ＜ 3$

答案： 12.C
∵A={x|x≤1,或x≥3},
∴∁_UA={x|1＜x＜3}.
　若B∩(∁_UA)=∅,
　则k+1≤1或k≥3,即k≤0或k≥3,
∴若B∩(∁_UA)≠∅,则0＜k＜3.

13. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 $ 96\%$ 的学生喜欢足球或游泳，$ 60\%$ 的学生喜欢足球，$ 82\%$ 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(C)

A.$ 62\%$
B.$ 56\%$
C.$ 46\%$
D.$ 42\%$

答案： 13.C　设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,
　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，
　则(60%−x)+(82%−x)+x=96%,解得x=46%.

14. 设全集 $ U = \mathbf{R}$，集合 $ A = \{ x | x ＞ 1\}, B = \{ x | x ＞ $ $ a\}$，且 $(\complement_{U}A)\cup B = \mathbf{R}$，则实数 $ a $ 的取值范围是{a|a≤1}。

答案： 14.{a|a≤1}　因为A={x|x＞1},B={x|x＞a},
　所以∁_UA={x|x≤1},由(∁_UA)∪B=R,可知a≤1.

15. 设全集 $ U = \mathbf{R}$，集合 $ A = \{ x | x^{2} + 4x + a = $ $ 0\}, B = \{ x | x^{2} + bx - 2 = 0\}$。
(1) 若集合 $ A $ 中恰有一个元素，求实数 $ a $ 的值；
(2) 若 $(\complement_{U}A)\cap B = \{ 2\}, (\complement_{U}B)\cap A = \{ - 3\}$，求 $ A\cup B$。

答案： $15.$解$　$　　
$(1)$　　
∵集合$A$中恰有一个元素，　　
∴$Δ=16−4a=0,$解得$a=4.$　　
$(2)$　　
∵$(∁_UA)∩B={2},$　　
∴$2∈B,$则$4+2b−2=0,$解得$b=−1.$　　
∵$(∁_UB)∩A={−3},$　　
∴$−3∈A,$则$9−12+a=0,$解得$a=3.$　　
$　$则$A={x|x²+4x+3=0}={−1,−3},$　　
$　B={x|x²−x−2=0}={−1,2},$　　
$　$检验可知$(∁_UA)∩B={2},(∁_UB)∩A={−3}$成立$.$　　
∴$A∪B={−3,−1,2}.$