《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知$p:A = \{x|2a - 1 ＜ x ＜ 3a + 1\}$，$q:B = \{x|-1 ＜ x ＜ 4\}$.
(1)若$p$是$q$的充分条件，求实数$a$的取值范围；
(2)是否存在实数$a$，使得$p$是$q$的充要条件?若存在，求出$a$的值；若不存在，请说明理由.

答案： 10.解　
(1)集合$A=\{x\mid2a - 1＜x＜3a + 1\}$，集合$B=\{x\mid - 1＜x＜4\}$。因为$p$是$q$的充分条件，所以$A\subseteq B$。当$A=\varnothing$时，则$2a - 1\geq3a + 1$，解得$a\leq - 2$，满足题意；当$A\neq\varnothing$时，要使$A\subseteq B$成立，需满足$\begin{cases}2a - 1\geq - 1\\3a + 1\leq4\\2a - 1＜3a + 1\end{cases}$，解得$0\leq a\leq1$。综上，实数$a$的取值范围为$(-\infty,-2]\cup[0,1]$。
(2)假设存在实数$a$，使得$p$是$q$的充要条件，那么$A = B$，则必有$\begin{cases}2a - 1 = - 1\\3a + 1 = 4\end{cases}$，无解。故不存在实数$a$，使得$A = B$，即不存在实数$a$，使得$p$是$q$的充要条件。

11. 下列选项中，$p$是$q$的充要条件的为(B)

A.$p:x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$q:xy ＞ 0$
B.$p:a ＞ b$，$q:a + c ＞ b + c$
C.$p:x ＞ 5$，$q:x ＞ 10$
D.$p:a ＞ b$，$q:a^{2} ＞ b^{2}$

答案： 11.B　对于$A$，$p\Rightarrow q$，但$p\nRightarrow q$，故$p$不是$q$的充要条件；对于$B$，$p\Rightarrow q$，且$q\Rightarrow p$，即$p\Leftrightarrow q$，故$q$是$p$的充要条件；对于$C$，$p\Rightarrow q$，但$q\nRightarrow p$，故$p$不是$q$的充要条件；对于$D$，$p\nRightarrow q$，且$q\nRightarrow p$，故$p$不是$q$的充要条件。故选B。

12. 集合$A,B$之间的关系如图所示，$p:a\in \complement_{U}B$，$q:a\in A$，则$p$是$q$的(B)


A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 12.B　由图可知$A$是$B$的补集的真子集，则$p$是$q$的必要不充分条件。

13. 已知“$p:x ＞ m + 3$或$x ＜ m$”是“$q:-4 ＜ x ＜ 1$”成立的必要不充分条件，则实数$m$的取值范围是$m\leq - 7$或$m\geq1$.

答案： 13.$m\leq - 7$或$m\geq1$　因为$p$是$q$成立的必要不充分条件，所以$m + 3\leq - 4$或$m\geq1$，则$m\leq - 7$或$m\geq1$。

14. “已知四边形$ABCD$且$A,B,C,D$四点共圆”是“$\angle A+\angle C = 180^{\circ}$”成立的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 14.C　$\because$圆内接四边形对角互补，$\therefore p\Rightarrow q$，又对角互补的四边形内接于圆，$\therefore q\Rightarrow p$，$\therefore p\Leftrightarrow q$。

15. 求证：关于$x$的方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$只有一个负实数根的充要条件是$a = 1$或$a\leqslant 0$.

答案： 15.证明　
(1)充分性：当$a = 1$时，方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$的实根是$x_{1}=x_{2}=-1$，只有一个负实数根；当$a = 0$时，方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$只有一个负实根是$x =-\frac{1}{2}$；当$a＜0$时，方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$的判别式$\Delta = 4 - 4a＞0$，且$x_{1}x_{2}=\frac{1}{a}＜0$，方程两根一正一负。所以当$a = 1$或$a\leq0$时，关于$x$的方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$只有一个负实数根。
(2)必要性：若方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$只有一个负实数根，则①当$a = 0$时，$x =-\frac{1}{2}$，符合题意。②当$a\neq0$时，方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$有实根，$\Delta = 4 - 4a\geq0$，解得$a\leq1$；当$a = 1$时，方程的解为$-1$，符合题意；当$a＜1$且$a\neq0$时，方程有两个不相等的实数根$x_{1}$，$x_{2}$，若方程只有一个负实数根，则$x_{1}x_{2}=\frac{1}{a}＜0$，即$a＜0$。所以当关于$x$的方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$只有一个负实数根时，$a = 1$或$a\leq0$。综上，关于$x$的方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$只有一个负实数根的充要条件是$a = 1$或$a\leq0$。