《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 求下列函数的值域。
(1) $ y = |2x - 1| $，$ x\in\{0,1,2,3,4\} $；
(2) $ y=\frac{x}{x + 1} $；
(3) $ y = x^{2}-4x $，$ x\in[1,4] $。

答案： 10.解
(1)$\because y = |2x - 1|,x \in \{0,1,2,3,4\}$，
$\therefore$函数的值域为$\{1,3,5,7\}$.
(2)$\because y = \frac{x}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$，且$\frac{1}{x + 1} \neq 0$，
$\therefore$函数的值域为$\{y|y \neq 1\}$.
(3)配方得$y = (x - 2)^2 - 4$.
$x \in [1,4]$，函数的值域为$[-4,0]$.

11. 下列函数中，与函数 $ y = x + 2 $是同一个函数的是(B)

A.$ y = (\sqrt{x + 2})^{2} $
B.$ y=\sqrt[3]{x^{3}}+2 $
C.$ y=\frac{x^{2}}{x}+2 $
D.$ y=\sqrt{x^{2}}+2 $

答案： 11.B $y = x + 2$的定义域为$\mathbf{R}$.
对于A，$y = (\sqrt{x + 2})^2$的定义域为$[-2, + \infty)$，与$y = x + 2$的定义域不同，不是同一个函数；
对于B，$y = \sqrt[3]{x^3} + 2 = x + 2$的定义域为$\mathbf{R}$，与$y = x + 2$的定义域相同，对应关系相同，是同一个函数；
对于C，$y = \frac{x^2}{x} + 2$的定义域为$\{x|x \neq 0\}$，与$y = x + 2$的定义域不同，不是同一个函数；
对于D，$y = \sqrt{x^2} + 2 = |x| + 2 = \begin{cases}x + 2,x \geq 0, \\-x + 2,x ＜ 0,\end{cases}$与$y = x + 2$的对应关系不同，不是同一个函数.

12. 设函数 $ y = f(x) $的定义域是 $ \mathbf{R} $，值域是$[1,2]$，则函数 $ y = f(2x - 1) $的值域是(A)

A.$[1,2]$
B.$ \mathbf{R} $
C.$[1,\frac{3}{2}]$
D.$[1,3]$

答案： 12.A 函数$y = f(x)$的定义域是$\mathbf{R}$，值域是$[1,2]$，
故函数$y = f(2x - 1)$的定义域仍为$\mathbf{R}$，值域仍为$[1,2]$.

13. 函数 $ y = x+\sqrt{1 - 2x} $的值域为(A)

A.$(-\infty,1]$
B.$[1,+\infty)$
C.$(-\infty,1)$
D.$(1,+\infty)$

答案： 13.A 令$t = \sqrt{1 - 2x}(t \geq 0)$，则$x = \frac{1 - t^2}{2}$
$y = \frac{1 - t^2}{2} + t = -\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t - 1)^2 + 1$.
$\because t \geq 0,\therefore$当$t = 1$，即$x = 0$时，函数取得最大值$y_{\max} = 1$，
$\therefore$函数$y = x + \sqrt{1 - 2x}$的值域为$(-\infty,1]$.

14. 已知函数 $ f(x + 2) $的定义域为$(-3,4)$，则函数 $ g(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{3x - 1}} $的定义域为$(\frac{1}{3},6)$。

答案： 14.$(\frac{1}{3},6)$ 因为函数$f(x + 2)$的定义域为$(-3,4)$，
所以$f(x)$的定义域为$(-1,6)$，
又因为$3x - 1 ＞ 0$，即$x ＞ \frac{1}{3}$，
所以函数$g(x)$的定义域为$(\frac{1}{3},6)$.

15. 已知函数 $ f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2} $，是否存在实数 $ m $，使得函数的定义域和值域都是$[1,m](m\gt1)$？若存在，求出 $ m $的值；若不存在，说明理由。

答案： 15.解 存在.理由如下：
$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 1$图象的对称轴为$x = 1$，顶点为$(1,1)$且开口向上.
$\because m ＞ 1$，
$\therefore$要使$f(x)$的定义域和值域都是$[1,m]$，则有$\begin{cases}f(1) = 1, \\f(m) = m, \end{cases}$即$\frac{1}{2}m^2m + \frac{3}{2} = m$，
即$m^2 - 4m + 3 = 0,\therefore m = 3$或$m = 1$(舍)，
$\therefore$存在实数$m = 3$满足条件.