《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 下列三个集合：
① $ A = \{ x | y = x^{2} + 1 \} $；
② $ B = \{ y | y = x^{2} + 1 \} $；
③ $ C = \{ ( x,y ) | y = x^{2} + 1 \} $。
(1) 它们是不是相同的集合？
(2) 它们各自的含义分别是什么？

答案： 10.解
(1)它们是互不相同的集合.
(2)集合$A=\{x|y = x^{2}+1\}$的代表元素是$x$，且$x\in R$；集合$B=\{y|y = x^{2}+1\}$的代表元素是$y$，满足条件$y = x^{2}+1$的$y$的取值范围是$y\geq1$.集合$C=\{(x,y)|y = x^{2}+1\}$的代表元素是$(x,y)$，是$y = x^{2}+1$图象上的点.

11. 已知集合 $ A = \{ x | x = 2m - 1,m \in \mathbf{Z} \},B = \{ x | x = 2n,n \in \mathbf{Z} \} $ 且 $ x_{1},x_{2} \in A,x_{3} \in B $，则下列判断不正确的是(D)

A.$ x_{1} · x_{2} \in A $
B.$ x_{2} · x_{3} \in B $
C.$ x_{1} + x_{2} \in B $
D.$ x_{1} + x_{2} + x_{3} \in A $

答案： 11.D 由$x_{1},x_{2}\in A,x_{3}\in B$，可知$x_{1},x_{2}$是奇数，$x_{3}$是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数，所以$x_{1}· x_{2}\in A$，即A正确；因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以$x_{2}· x_{3}\in B$，即B正确；因为两个奇数的和为偶数，所以$x_{1}+x_{2}\in B$，即C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以$x_{1}+x_{2}+x_{3}\in B$，即D错误.

12. (多选)下列说法错误的是(BD)

A.在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 $ \{ ( x,y ) | xy ＞ 0 \} $
B.方程 $ \sqrt{x - 2} + | y + 2 | = 0 $ 的解集为 $ \{ - 2,2 \} $
C.$ \{ x | x ＜ - 8 $，且 $ x ＞ - 5 \} $ 中的元素个数为 $ 0 $
D.若 $ A = \{ x \in \mathbf{Z} | - 1 \leqslant x \leqslant 1 \} $，则 $ - 1.1 \in A $

答案： 12.BD A项，第一象限内的点$(x,y)$满足$x＞0,y＞0$，第三象限内的点$(x,y)$满足$x＜0,y＜0$，故A正确；B项，方程的解为$\begin{cases}x = 2\\y = -2\end{cases}$，故解集为$\{(2,-2)\}$，故B错误，C项正确；D项，$A=\{-1,0,1\}$，$-1.1\notin A$，故D错误.

13. 若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合 $ A = \{ - 1,1,2 \} $不是(填“是”或“不是”)可倒数集。试写出一个含三个元素的可倒数集$\{1,2,\frac{1}{2}\}$(答案不唯一)。

答案： 13.不是 $\{1,2,\frac{1}{2}\}$(答案不唯一) 由于$2$的倒数$\frac{1}{2}$不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若一个元素$a\in A$，则$\frac{1}{a}\in A$.若集合中有三个元素，故必有一个元素$a=\frac{1}{a}$，即$a=\pm1$，故可取的集合有$\{1,2,\frac{1}{2}\},\{-1,3,\frac{1}{3}\}$等.

14. 对于任意两个正整数 $ m,n $，定义某种运算“※”如下：当 $ m,n $ 都为正偶数或正奇数时，$ m※n = m + n $；当 $ m,n $ 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，$ m※n = mn $，则在此定义下，集合 $ M = \{ ( a,b ) | a※b = 16 \} $ 中的元素个数是(B)

A.$ 18 $
B.$ 17 $
C.$ 16 $
D.$ 15 $

答案： 14.B 因为$1 + 15 = 16,2 + 14 = 16,3 + 13 = 16,4 + 12 = 16,5 + 11 = 16,6 + 10 = 16,7 + 9 = 16,8 + 8 = 16,9 + 7 = 16,10 + 6 = 16,11 + 5 = 16,12 + 4 = 16,13 + 3 = 16,14 + 2 = 16,15 + 1 = 16,1×16 = 16$，集合M中的元素是有序数对$(a,b)$，所以集合M中的元素共有$17$个.

15. 已知集合 $ A = \left\{ x \in \mathbf{N} \left| \frac{9}{10 - x} \in \mathbf{N} \right. \right\},B = \left\{ \frac{9}{10 - x} \in \mathbf{N} \left| x \in \mathbf{N} \right. \right\} $，试问集合 $ A $ 与 $ B $ 有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合。

答案： 15.解 对于集合A，B，因为$x\in N,\frac{9}{10 - x}\in N$，所以当$x = 1$时，$\frac{9}{10 - x}=1$；当$x = 7$时，$\frac{9}{10 - x}=3$；当$x = 9$时，$\frac{9}{10 - x}=9$.所以$A=\{1,7,9\},B=\{1,3,9\}$.所以集合A与B有$2$个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为$\{1,9\}$.