《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. (多选)下列各组函数为同一个函数的是(CD)

A.$ f(x)=x $，$ g(x)=\frac{x^{2}}{x} $
B.$ f(x)=1 $，$ g(x)=(x - 1)^{0} $
C.$ f(x)=\frac{(\sqrt{x})^{2}}{x} $，$ g(x)=\frac{x}{(\sqrt{x})^{2}} $
D.$ f(t)=\frac{t^{2}-16}{t - 4} $，$ g(t)=t + 4(t\neq4) $

答案： 1.CD 对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于C，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；
对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数。

2. 函数 $ f(x)=2x + 1 $，$ x\in[0,1] $的值域是(A)

A.$[1,3]$
B.$(1,3)$
C.$[2,3]$
D.$[0,2]$

答案： 2.A 由$f(x)=2x + 1$的图象(图略)知，图象整体是上升的，
当$x \in [0,1]$时，
$f(0)=1,f(1)=3$，
所以值域为$[1,3]$.

3. 已知函数 $ f(x) $的定义域为$[-1,2]$，则 $ f(3 - 2x) $的定义域为(A)

A.$[\frac{1}{2},2]$
B.$[-1,2]$
C.$[-1,5]$
D.$[\frac{1}{2},2]$

答案： 3.A 由于函数$f(x)$的定义域为$[-1,2]$，故$-1 \leq 3 - 2x \leq 2$，解得$\frac{1}{2}\leq x \leq 2$，
即函数$f(3 - 2x)$的定义域为$[\frac{1}{2},2]$.

4. 若集合 $ A=\{y|y = x^{2}-1\} $，$ B=\{y|y = -x^{2}-2x\} $，则 $ A\cap B $等于(B)

A.$(-1,1)$
B.$[-1,1]$
C.$(-1,1]$
D.$[-1,1)$

答案： 4.B 集合$A = \{y|y = x^2 - 1\} = \{y|y \geq -1\}$，
$B = \{y|y = -x^2 - 2x\} = \{y|y = -(x + 1)^2 + 1\} = \{y|y \leq 1\}$，

5. 已知函数 $ y = f(-2x + 1) $的定义域是$[-1,2]$，则 $ y = f(x) $的定义域是(B)

A.$[-\frac{1}{2},1]$
B.$[-3,3]$
C.$[-1,5]$
D.$[-3,1]$

答案： 5.B 由题意知$-1 \leq x \leq 2$，所以$-3 \leq -2x + 1 \leq 3$，
所以$y = f(x)$的定义域为$[-3,3]$.

6. 函数 $ y=\frac{x - 1}{x + 1}(x\geq0) $的值域为(A)

A.$[-1,1)$
B.$[-1,1]$
C.$[-1,+\infty)$
D.$[0,+\infty)$

答案： 6.A $y = \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1 - 2}{x + 1} = 1 + \frac{-2}{x + 1}$
$\because x \geq 0,\therefore x + 1 \geq 1,\therefore 0 ＜ \frac{1}{x + 1} \leq 1$，
$\therefore -2 \leq \frac{-2}{x + 1} ＜ 0$，
$\therefore -1 \leq 1 + \frac{-2}{x + 1} ＜ 1$.
$\therefore$函数$y = \frac{x - 1}{x + 1}(x \geq 0)$的值域为$[-1,1)$.

7. 若函数 $ y = f(x) $的定义域是$[0,2]$，则函数 $ g(x)=\frac{f(2x)}{x - 1} $的定义域是[0,1)。

答案： 7.[0,1) 因为函数$f(x)$的定义域是$[0,2]$，
所以$0 \leq 2x \leq 2$且$x \neq 1$，故$g(x)$的定义域是$[0,1)$.

8. 若 $ A=\{y|y = x^{2}-2x + 2\} $，且 $ a\in A $，则$\frac{1}{a + 2}$的取值范围是(0,$\frac{1}{3}$]。

答案： 8.$(0,\frac{1}{3}]$
因为$A = \{y|y = x^2 - 2x + 2\} = \{y|y = (x - 1)^2 + 1\} = \{y|y \geq 1\}$，
又$a \in A$，则$a \geq 1$，
所以$a + 2 \geq 3$，所以$0 ＜ \frac{1}{a + 2} \leq \frac{1}{3}$.

9. (1)已知函数 $ f(x)=\sqrt{1 - x}+\sqrt{x + 3} $，求函数 $ f(x + 1) $的定义域；
(2)已知函数 $ f(3x + 1) $的定义域为$(-1,6]$，求 $ f(2x - 5) $的定义域。

答案： 9.解
(1)$f(x) = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 3}$，
得$\begin{cases}1 - x \geq 0, \\x + 3 \geq 0,\end{cases}$解得$-3 \leq x \leq 1$，
函数$f(x) = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 3}$的定义域为$[-3,1]$，
由$-3 \leq x + 1 \leq 1$，得$-4 \leq x \leq 0$，即函数$f(x + 1)$的定义域为$[-4,0]$.
(2)函数$f(3x + 1)$的定义域为$(-1,6]$，
$\therefore -1 ＜ x \leq 6$，则$-2 ＜ 3x + 1 \leq 19$，即函数$f(x)$的定义域为$(-2,19]$，
由$-2 ＜ 2x - 5 \leq 19$，得$\frac{3}{2} ＜ x \leq 12$，$\therefore f(2x - 5)$的定义域为$(\frac{3}{2},12]$.