《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 求下列函数的定义域：
(1) $ y = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2} $；
(2) $ f(x) = \frac{(x + 3)^0}{\sqrt{|x| - x}} $.

答案： 10.解
(1)要使函数有意义，则$\begin{cases}1 - x² \geq 0 \\ x² - 1 \geq 0 \end{cases}$，即$\begin{cases}x² \leq 1 \\ x² \geq 1 \end{cases}$，
所以x² = 1，从而函数的定义域为{x|x = ±1} = {1, -1}。
(2)要使函数式有意义，必须满足$\begin{cases}x + 3 \neq 0 \\ |x| - x ＞ 0 \end{cases}$，
即$\begin{cases}x \neq -3 \\ |x| ＞ x \end{cases}$，解得$\begin{cases}x \neq -3 \\ x ＜ 0 \end{cases}$，
所以函数的定义域为{x|x ＜ 0且x ≠ -3}。

11. 已知集合 $ A = \{ 1,2,k \} $，$ B = \{ 4,7,10 \} $，$ x \in A $，$ y \in B $，使 $ B $ 中元素 $ y $ 和 $ A $ 中元素 $ x $ 一一对应，对应关系为 $ y = 3x + 1 $，则 $ k $ 的值为(C)

A.$ 5 $
B.$ 4 $
C.$ 3 $
D.$ 2 $

答案： 11.C 根据对应关系为y = 3x + 1，3×1 + 1 = 4，3×2 + 1 = 7，由题意可得3×k + 1 = 3k + 1 = 10，
所以k = 3。

12. 已知函数 $ f(x) = \frac{a}{x} + bx - 3 $，且 $ f(-1) = -1 $，则 $ f(1) $ 的值为(A)

A.$ -5 $
B.$ -3 $
C.$ -1 $
D.$ 1 $

答案： 12.A 因为f(-1) = -a - b - 3 = -1，
所以a + b = -2，
所以f
(1) = a + b - 3 = -2 - 3 = -5。

13. 已知集合 $ A = B = \{ 0,1,2,3 \} $，$ f : A \to B $ 为从集合 $ A $ 到集合 $ B $ 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有15种.

答案： 13.15 由函数的定义知，此函数可分为四类：
若函数是四对一对应，则值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4种情况；
若函数是三对一对应，则值域有{0, 1}，{0, 2}，{0, 3}，{1, 2}，{1, 3}，{2, 3}，共6种情况；
若函数是二对一对应，则值域有{0, 1, 2}，{0, 1, 3}，{0, 2, 3}，{1, 2, 3}，共4种情况；
若函数是一对一对应，则值域为{0, 1, 2, 3}，共1种情况。
综上，该函数的值域的不同情况有4 + 6 + 4 + 1 = 15(种)。

14. 函数 $ y = \sqrt{ax^2 + ax + 1} $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，则 $ a $ 的取值范围为[0, 4].

答案： 14.[0, 4] 当a = 0时，1 ≥ 0恒成立，所以a = 0符合题意；
当a ≠ 0时，由题意知$\begin{cases}a ＞ 0 \\ a² - 4a \leq 0 \end{cases}$，解得0 ＜ a ≤ 4。
所以a的取值范围为[0, 4]。

15. 已知函数 $ f(x) $ 对任意正实数 $ x $，$ y $ 都有 $ f(xy) = f(x) + f(y) $ 成立.
(1) 求 $ f(1) $ 的值；
(2) 若 $ f(2) = a $，$ f(3) = b $（$ a $，$ b $ 均为常数），求 $ f(36) $ 的值.

答案： 15.解
(1)令x = y = 1，则f
(1) = 2f
(1)，
∴f
(1) = 0。
(2)令x = 2，y = 3，则f
(6) = f
(2) + f
(3) = a + b，
令x = y = 6，则f
(36) = 2f
(6) = 2(a + b)，
∴f
(36) = 2(a + b)。