《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 若 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，且 $ \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1 $，则 $ x + y $ 的最小值是(C)

A.$ 3 $
B.$ 6 $
C.$ 9 $
D.$ 12 $

答案： 1.C $x + y = (x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{4}{y}\right) = 5 + \frac{y}{x} + \frac{4x}{y} \geqslant 5 + 2\sqrt{\frac{y}{x} · \frac{4x}{y}} = 9$，
当且仅当$\frac{y}{x} = \frac{4x}{y}$，即$x = 3,y = 6$时取等号，
故$x + y$的最小值是$9$。

2. 某工厂生产某种产品，第一年的产量为 $ A $，第二年的增长率为 $ a $，第三年的增长率为 $ b $，这两年的平均增长率为 $ x $($ a $，$ b $，$ x $ 均大于零)，则(B)

A.$ x = \frac{a + b}{2} $
B.$ x \leq \frac{a + b}{2} $
C.$ x ＞ \frac{a + b}{2} $
D.$ x \geq \frac{a + b}{2} $

答案： 2.B 由题意得,$A(1 + a)(1 + b) = A(1 + x)^{2}$，
则$(1 + a)(1 + b) = (1 + x)^{2}$，
因为$(1 + a)(1 + b) \leqslant \left(\frac{1 + a + 1 + b}{2}\right)^{2}$，
所以$1 + x \leqslant \frac{2 + a + b}{2} = 1 + \frac{a + b}{2}$，
所以$x \leqslant \frac{a + b}{2}$,当且仅当$a = b$时取等号.

3. 已知正实数 $ x $，$ y $ 满足 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 $，则 $ 4xy - 3x $ 的最小值为(B)

A.$ 8 $
B.$ 9 $
C.$ 10 $
D.$ 11 $

答案： 3.B 由$x ＞ 0,y ＞ 0$,且$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$,可得$xy = x + y$.
所以$4xy - 3x = 4x + 4y - 3x = x + 4y$，
又因为$x + 4y = (x + 4y)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 5 + \frac{4y}{x} + \frac{x}{y} \geqslant 9$，
当且仅当$\frac{4y}{x} = \frac{x}{y}$,即$x = 3,y = \frac{3}{2}$时取等号，
所以$4xy - 3x$的最小值为$9$.

4. 如图所示，矩形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 靠墙 $ PQ $ 上，另外三边是由篱笆围成的。若该矩形的面积为 $ 4 $，则围成矩形 $ ABCD $ 所需要篱笆的(B)

A.最小长度为 $ 8 $
B.最小长度为 $ 4\sqrt{2} $
C.最大长度为 $ 8 $
D.最大长度为 $ 4\sqrt{2} $

答案： 4.B 设$BC = a,CD = b$，
因为矩形的面积为$4$,所以$ab = 4$,
所以围成矩形$ABCD$所需要的篱笆长度为
$2a + b = 2a + \frac{4}{a} \geqslant 2\sqrt{2a · \frac{4}{a}} = 4\sqrt{2}$，
当且仅当$2a = \frac{4}{a}$,即$a = \sqrt{2}$时，等号成立,即所需要篱笆的最小长度为$4\sqrt{2}$.

5. 已知 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，$ xy = x + 4y $，则 $ x + y + \frac{4}{x} + \frac{1}{y} $ 的最小值为(A)

A.$ 10 $
B.$ 6 $
C.$ 4 $
D.$ 9 $

答案： 5.A 由$xy = x + 4y$,得$\frac{4}{x} + \frac{1}{y} = 1$，
所以$x + y + \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = (x + y)\left(\frac{4}{x} + \frac{1}{y}\right) + 1 = 4 + 1 + \frac{4y}{x} + \frac{x}{y} + 1$
$\geqslant 6 + 2\sqrt{\frac{4y}{x} · \frac{x}{y}} = 6 + 4 = 10$，
当且仅当$x = 6,y = 3$时，等号成立，
所以$x + y + \frac{4}{x} + \frac{1}{y}$的最小值为$10$。

6. (多选)已知正数 $ x $，$ y $ 满足 $ x + y = 2 $，则下列选项正确的是(AB)

A.$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $ 的最小值是 $ 2 $
B.$ xy $ 的最大值是 $ 1 $
C.$ x^2 + y^2 $ 的最小值是 $ 4 $
D.$ x(y + 1) $ 的最大值是 $ 2 $

答案： 6.AB 因为正数$x,y$满足$x + y = 2$，
所以$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}(x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)$
$ = \frac{1}{2} × \left(2 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y}\right) \geqslant \frac{1}{2} × \left(2 + 2\sqrt{\frac{y}{x} · \frac{x}{y}}\right) = 2$，
当且仅当$\frac{y}{x} = \frac{x}{y}$即$x = y = 1$时，等号成立，
所以$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$的最小值是$2$,故A正确；
因为正数$x,y$满足$x + y = 2$，
所以$xy \leqslant \left(\frac{x + y}{2}\right)^{2} = \left(\frac{2}{2}\right)^{2} = 1$，
当且仅当$x = y = 1$时，等号成立，
所以$xy$的最大值是$1$,故B正确；
由$\left(\frac{x + y}{2}\right)^{2} \leqslant \frac{x^{2} + y^{2}}{2}$,得$x^{2} + y^{2} \geqslant 2$，
当且仅当$x = y = 1$时，等号成立，
所以$x^{2} + y^{2}$的最小值是$2$,故C错误；
$x(y + 1) \leqslant \left(\frac{x + y + 1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{2 + 1}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$，
当且仅当$\begin{cases}x = y + 1,\\x + y = 2,\end{cases}$即$x = \frac{3}{2},y = \frac{1}{2}$时，等号成立，
所以$x(y + 1)$的最大值是$\frac{9}{4}$,故D错误.

7. 若 $ a $，$ b $ 都是正数，且 $ a + b = 1 $，则 $ (a + 1)(b + 1) $ 的最大值是$\frac{9}{4}$。

答案： 7.$\frac{9}{4}$ 因为$a,b$都是正数，且$a + b = 1$，
所以$(a + 1)(b + 1) \leqslant \left(\frac{a + 1 + b + 1}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$，
当且仅当$a + 1 = b + 1$,即$a = b = \frac{1}{2}$时，等号成立.所以$(a + 1)(b + 1)$的最大值为$\frac{9}{4}$.

8. 若实数 $ a $，$ b $ 满足 $ a^2 + 2ab = 1 $，则 $ a^2 + b^2 $ 的最小值是$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。

答案： 8.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 由$a^{2} + 2ab = 1$可得$b = \frac{1 - a^{2}}{2a}$
所以$a^{2} + b^{2} = a^{2} + \left(\frac{1 - a^{2}}{2a}\right)^{2} = \frac{5a^{2}}{4} + \frac{1}{4a^{2}} - \frac{1}{2} \geqslant 2\sqrt{\frac{5a^{2}}{4} · \frac{1}{4a^{2}}} - \frac{1}{2}$
$ = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
当且仅当$a^{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$时，等号成立.

9. 已知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，且 $ a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $，求证：$ a + b \geq 2 $。

答案： 9.证明 由$a ＞ 0,b ＞ 0$，
则$a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$，
由于$a + b ＞ 0$,则$ab = 1$,即$a + b \geqslant 2\sqrt{ab} = 2$，
当且仅当$a = b = 1$时，等号成立，
所以$a + b \geqslant 2$.