《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 某商场经营一批进价是每件 $ 30 $ 元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价 $ x $（不低于进价，单位：元）与日销售量 $ y $（单位：件）之间有如下关系：

（1）确定 $ x $ 与 $ y $ 的一个一次函数关系式 $ y = f(x) $（注明函数定义域）；
（2）若日销售利润为 $ P $ 元，根据（1）中的关系式写出 $ P $ 关于 $ x $ 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？

答案： 10.解　
(1)因为$f(x)$是一次函数，设$f(x)=ax + b(a\neq0)$，由表格得方程组$\begin{cases}45a + b = 27,\\50a + b = 12,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -3,\\b = 162,\end{cases}$所以$y = f(x)=-3x + 162$，又$y\geqslant0$，所以$30\leqslant x\leqslant54$，故所求函数关系式为$y=-3x + 162,x\in[30,54]$.
(2)由题意得，$P=(x - 30)y=(x - 30)(162 - 3x)=-3x^{2}+252x - 4860=-3(x - 42)^{2}+432,x\in[30,54]$.当$x = 42$时，日销售利润最大，最大值为$432$元，即当销售单价为$42$元时，获得最大的日销售利润.

11. 已知函数 $ y = x^{2}-2x + 3 $ 在闭区间 $ [0,m] $ 上有最大值 $ 3 $，最小值 $ 2 $，则 $ m $ 的取值范围是(D)

A.$ [1,+\infty) $
B.$ [0,2] $
C.$ (-\infty,2] $
D.$ [1,2] $

答案： 11.D　$f(x)=(x - 1)^{2}+2$，$\because f(x)_{\min}=2,f(x)_{\max}=3$，且$f(1)=2,f(0)=f(2)=3$，$\therefore1\leqslant m\leqslant2$.

12. (多选)已知 $ f(x)=x $，$ g(x)=x^{2}-2x $，$ F(x)=\begin{cases}g(x),f(x) \geq g(x),\\f(x),f(x) \lt g(x),\end{cases}$ 则 $ F(x) $ 的最值情况是( )

A.最大值为 $ 3 $
B.最小值为 $ -1 $
C.无最小值
D.无最大值

答案： 12.CD　由$f(x)\geqslant g(x)$得$0\leqslant x\leqslant3$；由$f(x)＜g(x)$，得$x＜0$或$x＞3$，所以$F(x)=\begin{cases}x^{2}-2x,0\leqslant x\leqslant3,\\x,x＜0或x＞3.\end{cases}$作出函数$F(x)$的图象(图略)，可得$F(x)$无最大值，无最小值.

13. 已知函数 $ f(x)=2x^{2}-ax + 1 $，$ x \in [-1,a] $，且 $ f(x) $ 的最大值为 $ f(a) $，则实数 $ a $ 的取值范围为(C)

A.$ (-\infty,-4] $
B.$ (-\infty,-1] \cup [2,+\infty) $
C.$ [2,+\infty) $
D.$ [-4,+\infty) $

答案： 13.C　函数$f(x)=2x^{2}-ax + 1$图象的对称轴方程为$x=\frac{a}{4}$，当$-1＜a\leqslant0$时，易得函数在$[-1,a]$上单调递减，则函数$f(x)$的最大值为$f(-1)$，不满足条件.当$a＞0$时，要使$f(x)$的最大值为$f(a)$，则$f(a)\geqslant f(-1)$，即$2a^{2}-a^{2}+1\geqslant2 + a + 1$，解得$a\leqslant-1$(舍)或$a\geqslant2$.

14. 用 $ \min\{a,b\} $ 表示 $ a,b $ 两个数中的最小值。设 $ f(x)=\min\{x + 2,10 - x\}(x \geq 0) $，则 $ f(x) $ 的最大值为6。

答案：
14.6　在同一个平面直角坐标系内画出函数$y = x + 2$和$y = 10 - x$的图象.
根据$\min\{x + 2,10 - x\}(x\geqslant0)$的含义可知，$f(x)$的图象应为图中的实线部分.解方程$x + 2 = 10 - x$，得$x = 4$，此时$y = 6$，故两图象的交点为$(4,6)$，所以$f(x)=\begin{cases}x + 2,0\leqslant x\leqslant4,\\10 - x,x＞4,\end{cases}$其最大值为交点的纵坐标，所以$f(x)$的最大值为$6$.

15. 函数 $ f(x)=\frac{x^{2}-a}{x}(a \in \mathbf{R}) $ 的定义域为 $ (0,2] $。
（1）当 $ a = -1 $ 时，求函数 $ y = f(x) $ 的值域；
（2）求函数 $ y = f(x) $ 在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取得最值时 $ x $ 的值。

答案： 15.解　
(1)当$a = -1$时，$f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x·\frac{1}{x}}=2$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$，即$x = 1$时等号成立.$f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，当$x＞0$且$x$趋向于$0$时，$\frac{1}{x}$趋向于$+\infty$，所以$f(x)=x+\frac{1}{x}$趋向于$+\infty$，所以函数$y = f(x)$的值域为$[2,+\infty)$.
(2)当$a\geqslant0$时，$f(x)=\frac{x^{2}-a}{x}=x+\frac{-a}{x}$，则函数$y = f(x)$在$(0,2]$上单调递增，无最小值，当$x = 2$时取得最大值$2-\frac{a}{2}$；当$a＜0$时，$f(x)=\frac{x^{2}-a}{x}=x+\frac{-a}{x}$，任取$x_{1},x_{2}\in(0,2]$，且$x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+\frac{-a}{x_{1}}-x_{2}-\frac{-a}{x_{2}}=(x_{1}-x_{2})\frac{x_{1}x_{2}+a}{x_{1}x_{2}}$，当$a\leqslant-4$时，函数$y = f(x)$在$(0,2]$上单调递减，无最大值，当$x = 2$时取得最小值$2-\frac{a}{2}$；当$-4＜a＜0$时，若$x_{1},x_{2}\in(0,\sqrt{-a})$，则$f(x_{1})-f(x_{2})＞0$，即$f(x_{1})＞f(x_{2})$，若$x_{1},x_{2}\in[\sqrt{-a},2]$，则$f(x_{1})-f(x_{2})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，所以函数$y = f(x)$在$(0,\sqrt{-a}]$上单调递减，在$[\sqrt{-a},2]$上单调递增，无最大值，当$x=\sqrt{-a}$时取得最小值$2\sqrt{-a}$.综上，当$a\geqslant0$时，$y = f(x)$无最小值，当$x = 2$时取得最大值$2-\frac{a}{2}$；当$a\leqslant-4$时，$y = f(x)$无最大值，当$x = 2$时取得最小值$2-\frac{a}{2}$；当$-4＜a＜0$时，$y = f(x)$无最大值，当$x=\sqrt{-a}$时取得最小值$2\sqrt{-a}$.