《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 下列函数中不是幂函数的是(C)

A.$ y = \sqrt{x} $
B.$ y = x^{3} $
C.$ y = 3x $
D.$ y = x^{-1} $

答案： 1.C　只有$y = 3x$不符合幂函数$y = x^{\alpha}$的形式.

2. 已知幂函数 $ y = f(x) $ 的图象经过点 $ \left(4,\frac{1}{4}\right) $，则 $ f(2) $ 等于(A)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ 2 $
C.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \sqrt{2} $

答案： 2.A　设幂函数为$y = x^{\alpha}$，$\because$幂函数的图象经过点$(4,\frac{1}{4})$，
　$\therefore\frac{1}{4} = 4^{\alpha}$，$\therefore\alpha = - 1$，$\therefore y = x^{- 1}$，
　$\therefore f(2) = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$.

3. 若四个幂函数 $ y = x^{a},y = x^{b},y = x^{c},y = x^{d} $ 在同一坐标系中的图象如图，则 $ a,b,c,d $ 的大小关系是(B)


A.$ d ＞ c ＞ b ＞ a $
B.$ a ＞ b ＞ c ＞ d $
C.$ d ＞ c ＞ a ＞ b $
D.$ a ＞ b ＞ d ＞ c $

答案： 3.B　在第一象限内，函数在$x = 1$的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数由小到大，所以$a ＞ b ＞ c ＞ d$.

4. 已知幂函数 $ f(x) = x^{4 - m}(m \in \mathbf{N}^{*}) $ 为奇函数，且在区间 $ (0,+\infty) $ 上单调递增，则 $ m $ 等于(C)

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $ 或 $ 3 $
D.$ 3 $

答案： 4.C　因为$f(x) = x^{4 - m}$在$(0, + \infty)$上单调递增，
　所以$4 - m ＞ 0$，所以$m ＜ 4$.
　又因为$m \in N^{*}$，所以$m = 1,2,3$.
　又因为$f(x) = x^{4 - m}$是奇函数，
　所以$4 - m$是奇数，
　所以$m = 1$或$3$.

5. 函数 $ y = x^{\frac{1}{2}} - 1 $ 的图象关于 $ x $ 轴对称的图象大致是(B)

答案： 5.B　$y = x^{\frac{2}{3}}$的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数$y = x^{\frac{2}{3}} - 1$的图象可看作是由$y = x^{\frac{2}{3}}$的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示)，则$y = x^{\frac{2}{3}} - 1$的图象关于$x$轴对称的图象即为选项B.

6. 以下结论中，正确的为(D)

A.当 $ \alpha = 0 $ 时，函数 $ y = x^{\alpha} $ 的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过 $ (0,0),(1,1) $ 两点
C.若幂函数 $ y = x^{\alpha} $ 的图象关于原点对称，则 $ y = x^{\alpha} $ 在定义域内 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限

答案： 6.D　当$a = 0$时，函数$y = x^{a}$的定义域为$\{x|x \neq 0,x \in R\}$，故A不正确；当$a ＜ 0$时，函数$y = x^{a}$的图象不过$(0,0)$点，故B不正确；幂函数$y = x^{- 1}$的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；D正确.

7. 已知 $ 2.4^{\alpha} ＞ 2.5^{\alpha} $，则 $ \alpha $ 的取值范围是$(- \infty,0)$.

答案： 7.$(- \infty,0)$　因为$0 ＜ 2.4 ＜ 2.5$，
　而$2.4^{a} ＞ 2.5^{a}$，
　所以$y = x^{a}$在$(0, + \infty)$上单调递减，故$a ＜ 0$.

8. 若幂函数 $ f(x) $ 过点 $ (2,8) $，则满足不等式 $ f(a - 3) + f(a - 1) \leq 0 $ 的实数 $ a $ 的取值范围是$(- \infty,2]$.

答案： 8.$(- \infty,2]$　由题意，不妨设$f(x) = x^{a}$，
　因为幂函数$f(x)$过点$(2,8)$，则$f(2) = 2^{a} = 8$，解得$a = 3$，
　故$f(x) = x^{3}$为定义在$R$上的奇函数，且$f(x)$为增函数，
　因为$f(a - 3) + f(a - 1) \leq 0$，则$f(a - 3) \leq - f(a - 1) = f(1 - a)$，
　故$a - 3 \leq 1 - a$，解得$a \leq 2$，
　从而实数$a$的取值范围是$(- \infty,2]$.

9. 比较下列各组数的大小：
(1) $ 3^{-\frac{7}{2}} $ 和 $ 3.2^{-\frac{7}{2}} $；
(2) $ \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{3}} $ 和 $ \left(\frac{\pi}{6}\right)^{\frac{2}{3}} $.

答案： 9.解　
(1)函数$y = x^{- \frac{7}{2}}$在$(0, + \infty)$上单调递减，
　又$3 ＜ 3.2$，所以$3^{- \frac{7}{2}} ＞ 3.2^{- \frac{7}{2}}$.
(2)函数$y = x^{\frac{2}{3}}$在$(0, + \infty)$上单调递增，
　而$\frac{2}{3} ＞ \frac{\pi}{6}$，
　所以$(\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}} ＞ (\frac{\pi}{6})^{\frac{2}{3}}$.