《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 命题 $ p $：“存在实数 $ m $，使方程 $ x^{2}+mx + 1 = 0 $ 有实数根”，则 $ p $ 的否定是(C)

A.存在实数 $ m $，使方程 $ x^{2}+mx + 1 = 0 $ 无实数根
B.不存在实数 $ m $，使方程 $ x^{2}+mx + 1 = 0 $ 无实数根
C.对任意的实数 $ m $，方程 $ x^{2}+mx + 1 = 0 $ 无实数根
D.至多有一个实数 $ m $，使方程 $ x^{2}+mx + 1 = 0 $ 有实数根

答案： 1.C 命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程$x^{2}+mx + 1 = 0$无实数根.

2. 设 $ x \in \mathbf{Z} $，集合 $ A $ 是奇数集，集合 $ B $ 是偶数集. 若命题 $ p $：$ \forall x \in A $，$ 2x \in B $，则(D)

A.$ \neg p $：$ \forall x \in A $，$ 2x \in B $
B.$ \neg p $：$ \forall x \notin A $，$ 2x \notin B $
C.$ \neg p $：$ \exists x \notin A $，$ 2x \in B $
D.$ \neg p $：$ \exists x \in A $，$ 2x \notin B $

答案： 2.D 命题p：$\forall x \in A$，$2x \in B$是一个全称量词命题，$\neg p$：$\exists x \in A$，$2x \notin B$.

3. 关于命题 $ p $“$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}-x + 1 \lt 0 $”的否定，下列说法正确的是(D)

A.$ \neg p $：$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}-x + 1 \gt 0 $，为假命题
B.$ \neg p $：$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}-x + 1 \gt 0 $，为真命题
C.$ \neg p $：$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}-x + 1 \geq 0 $，为假命题
D.$ \neg p $：$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}-x + 1 \geq 0 $，为真命题

答案： 3.D 因为$x^{2}-x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} ＞ 0$，故命题p为假命题，则$\neg p$为真命题；又“$\exists x \in \mathbf{R}$，$x^{2}-x + 1 ＜ 0$”的否定为“$\forall x \in \mathbf{R}$，$x^{2}-x + 1 \geq 0$”.

4. 已知命题“存在 $ x \in \{x|0 \lt x \lt 3\} $，使得等式 $ 2x - m = 0 $ 成立”是假命题，则实数 $ m $ 的取值范围是(A)

A.$ \{m|m \leq 0 $ 或 $ m \geq 6\} $
B.$ \{m|m \lt 0 $ 或 $ m \gt 6\} $
C.$ \{m|m \lt 0 $ 或 $ m \geq 6\} $
D.$ \{m|m \leq 0 $ 或 $ m \gt 6\} $

答案： 4.A 命题“存在$x \in \{x\mid 0 ＜ x ＜ 3\}$，使得等式$2x - m = 0$成立”是假命题，即命题“存在$x \in \{x\mid 0 ＜ x ＜ 3\}$，使得等式$x = \frac{m}{2}$成立”是假命题，即$\frac{m}{2} \notin \{x\mid 0 ＜ x ＜ 3\}$，所以$\frac{m}{2} \leq 0$或$\frac{m}{2} \geq 3$，解得$m \leq 0$或$m \geq 6$.

5.(多选)关于命题 $ p $：“$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}+1 \neq 0 $”的叙述，正确的是(AC)

A.$ \neg p $：$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}+1 = 0 $
B.$ \neg p $：$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}+1 = 0 $
C.$ p $ 是真命题，$ \neg p $ 是假命题
D.$ p $ 是假命题，$ \neg p $ 是真命题

答案： 5.AC 命题p：“$\forall x \in \mathbf{R}$，$x^{2}+1 \neq 0$”的否定是“$\exists x \in \mathbf{R}$，$x^{2}+1 = 0$”.$x^{2}+1 = 0$，$x$无解.所以p是真命题，$\neg p$是假命题.

6.(多选)对下列命题的否定说法正确的是(ABD)

A.$ p $：能被 $ 2 $ 整除的数是偶数；$ p $ 的否定：存在一个能被 $ 2 $ 整除的数不是偶数
B.$ p $：有些矩形是正方形；$ p $ 的否定：所有的矩形都不是正方形
C.$ p $：有的三角形为正三角形；$ p $ 的否定：所有的三角形不都是正三角形
D.$ p $：$ \forall n \in \mathbf{N} $，$ 2n \leq 100 $；$ p $ 的否定：$ \exists n \in \mathbf{N} $，$ 2n \gt 100 $

答案： 6.ABD “有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.

7. 某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}+2x + m \leq 0 $”是假命题，求 $ m $ 的取值范围. 乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}+2x + m \gt 0 $”是真命题，求 $ m $ 的取值范围. 你认为，两位同学题中 $ m $ 的取值范围是否一致？是(填“是”或“否”).

答案： 7.是 因为命题“$\exists x \in \mathbf{R}$，$x^{2}+2x + m \leq 0$”的否定是“$\forall x \in \mathbf{R}$，$x^{2}+2x + m ＞ 0$”，而命题“$\exists x \in \mathbf{R}$，$x^{2}+2x + m \leq 0$”是假命题，则其否定“$\forall x \in \mathbf{R}$，$x^{2}+2x + m ＞ 0$”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的.

8. 已知命题 $ p $：存在 $ x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}+2x + a = 0 $. 若命题 $ \neg p $ 是假命题，则实数 $ a $ 的取值范围是$\{a\mid |a| \leq 1\}$.

答案： 8.$\{a\mid |a| \leq 1\}$ 命题$\neg p$是假命题，$\therefore p$是真命题，即存在$x \in \mathbf{R}$，$x^{2}+2x + a = 0$为真命题，$\therefore \Delta = 4 - 4a \geq 0$，$\therefore a \leq 1$.

9. 写出下列命题的否定：
（1）有些四边形有外接圆；
（2）末位数字为 $ 9 $ 的整数能被 $ 3 $ 整除；
（3）$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ x^{2}+1 \lt 0 $.

答案： 9.解
(1)所有的四边形都没有外接圆.
(2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除.
(3)$\forall x \in \mathbf{R}$，$x^{2}+1 \geq 0$.