《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 函数 $ y = \frac{m - 3}{x} $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，那么 $ m $ 的取值范围是(A)

A.$ m ＜ 3 $
B.$ m ＞ 3 $
C.$ m ＜ - 3 $
D.$ m ＞ - 3 $

答案： 1.A 在反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，若$k＞0$，在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，若$k＜0$，在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以由题意得$m - 3＜0$，$m＜3$。

2. 已知点 $ P(a,m) $，$ Q(b,n) $ 都在函数 $ y = - \frac{2023}{x} $ 的图象上，且 $ a ＜ 0 ＜ b $，则下列结论一定正确的是(C)

A.$ m + n ＜ 0 $
B.$ m + n ＞ 0 $
C.$ m ＞ n $
D.$ m ＜ n $

答案： 2.C 反比例函数$y =-\frac{2023}{x}$中，$k =- 2023＜0$，图象位于第二、四象限，
$\because a＜0$，
$\therefore P(a,m)$在第二象限，
$\therefore m＞0$。
$\because b＞0$，
$\therefore Q(b,n)$在第四象限，
$\therefore n＜0$。
$\therefore n＜0＜m$，
即$m＞n$。

3. 函数 $ f(x) = x + \frac{4}{x} $ 在区间$[1,3]$上的最大值是(B)

A.3
B.5
C.4
D.$ \frac{13}{3} $

答案： 3.B 由对勾函数的图象的特点可知，$x = 2$时函数有最小值，$x = 1$时，函数有最大值为$5$。

4. 函数 $ f(x) = x + \frac{a}{x}(a ＞ 0,x \in \mathbf{R},x \neq 0) $ 的奇偶性为(A)

A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.无法判断

答案： 4.A

5. 函数 $ f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}(x \in \mathbf{R}) $ 的值域是(B)

A.$ (0,1) $
B.$ (0,1] $
C.$ [0,1) $
D.$ [0,1] $

答案： 5.B 令$t = 1 + x^{2}$，则$t\in[1,+\infty)$，又$y=\frac{1}{t}$在$t\in[1,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}(x\in\mathbf{R})$的值域为$(0,1]$。

6. (多选)下列函数中，满足对任意 $ x_{1},x_{2} \in (1,+\infty) $，有 $ \frac{f(x_{1}) - f(x_{2})}{x_{1} - x_{2}} ＜ 0 $ 的是(CD)

A.$ f(x) = x + \frac{1}{x} $
B.$ f(x) = \frac{3}{1 - x} $
C.$ f(x) = 1 + \frac{1}{x} $
D.$ f(x) = - x - \frac{1}{x} $

答案： 6.CD 对任意$x_1,x_2\in(1,+\infty)$，有$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}＜0$，则函数在区间$(1,+\infty)$上单调递减。
对于$A,f(x)=x+\frac{1}{x}$，由对勾函数的图象与性质可知不满足题意，故$A$不满足题意；
对于$B,f(x)=\frac{3}{1 - x}$，根据复合函数的单调性知，函数在区间$(1,+\infty)$上单调递增，故$B$不满足题意；
对于$C,f(x)=1+\frac{1}{x}$，函数在区间$(1,+\infty)$上单调递减，故$C$满足题意；
对于$D,f(x)=-x-\frac{1}{x}$，显然函数在区间$(1,+\infty)$上单调递减，故$D$满足题意。

7. 函数 $ y = \frac{x - 2}{x + 1} $ 的对称中心为$(-1,1)$.

答案： 7.$(-1,1)\because y=\frac{x - 2}{x + 1}=\frac{x + 1 - 3}{x + 1}=1-\frac{3}{x + 1}$，
故该函数是由$y =-\frac{3}{x}$先向左平移$1$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度得到的，
$\therefore$对称中心为$(-1,1)$。

8. 在平面直角坐标系中，函数 $ y = - x + a $ 与函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的图象有两个公共点，则实数 $ a $ 的取值范围是$a＜-2$或$a＞2$.

答案： 8.$a＜-2$或$a＞2$ 联立$\begin{cases}y=-x + a,\\y=\frac{1}{x}.\end{cases}$整理得$x^{2}-ax + 1 = 0$，①
函数$y=-x + a$与反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象有两个公共点，则方程组有两个解，即方程①有两个不同的解，$\Delta=a^{2}-4＞0,a＜-2$或$a＞2$。

9. 作出函数 $ y = \frac{x - 1}{x - 2} $ 的图象，并写出函数的单调区间和值域.

答案：
9.解$y=\frac{x - 1}{x - 2}=1+\frac{1}{x - 2}$，图象如图所示。
函数在$(-\infty,2)$和$(2,+\infty)$上单调递减。
因为$\frac{1}{x - 2}\neq0$，所以$1+\frac{1}{x - 2}\neq1$。
故单调递减区间为$(-\infty,2)$和$(2,+\infty)$，无单调递增区间，值域为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。