《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 如图是函数 $ y = f(x) $ 的图象，则函数 $ f(x) $ 的单调递减区间是(D)


A.$ (-1,0) $
B.$ (1,+\infty) $
C.$ (-1,0)\cup(1,+\infty) $
D.$ (-1,0),(1,+\infty) $

答案： 1.D 由图可知$f(x)$的单调递减区间有2个，分别为$(-1,0)$，$(1, +\infty)$。

2. 函数 $ f(x) = |x| $，$ g(x) = x(2 - x) $ 的单调递增区间分别是(C)

A.$ (-\infty,0] $，$ (-\infty,1] $
B.$ (-\infty,0] $，$ (1,+\infty) $
C.$ [0,+\infty) $，$ (-\infty,1] $
D.$ [0,+\infty) $，$ [1,+\infty) $

答案：
2.C 分别作出$f(x)$与$g(x)$的图象(图略)，得$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，$g(x)$在$(-\infty,1]$上单调递减。

3. 设 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的减函数，则(D)

A.$ f(a) ＞ f(2a) $
B.$ f(a^2) ＜ f(a) $
C.$ f(a^2 + a) ＜ f(a) $
D.$ f(a^2 + 1) ＜ f(a) $

答案： 3.D $f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的减函数，当$a＞0$时，$a＜2a$，$f(a)＞f(2a)$，当$a\leq0$时，$a\geq2a$，$f(a)\leq f(2a)$，故A错误；当$a=0$时，$a^{2}=a$，则$f(a^{2})=f(a)$，故B错误；当$a=0$时，$a^{2}+a=a$，则$f(a^{2}+a)=f(a)$，故C错误；由$a^{2}+1＞a$，得$f(a^{2}+1)＜f(a)$，故D正确。

4. (多选)下列函数中，在区间 $ (-\infty,0) $ 上单调递增的是(ABC)

A.$ f(x) = -\frac{1}{x} $
B.$ f(x) = x $
C.$ f(x) = -x^2 $
D.$ f(x) = 1 - x $

答案： 4.ABC 由函数的图象知$f(x)=-\frac{1}{x}$，$f(x)=x$，$f(x)=-x^{2}$在$(-\infty,0)$上单调递增。

5. 已知函数 $ f(x) = 4x^2 - kx - 8 $ 在 $ (-\infty,5] $ 上具有单调性，则实数 $ k $ 的取值范围是(D)

A.$ (-24,40) $
B.$ [-24,40] $
C.$ (-\infty,-24] $
D.$ [40,+\infty) $

答案： 5.D $\because$函数$f(x)=4x^{2}-kx-8$的图象的对称轴方程为$x=\frac{k}{8}$，且函数$f(x)=4x^{2}-kx-8$在$(-\infty,5]$上具有单调性，$\therefore$根据二次函数的性质可知$\frac{k}{8}\geq5$，解得$k\geq40$，则$k$的取值范围是$[40,+\infty)$。

6. 已知函数 $ f(x) $ 在 $ [0,+\infty) $ 上单调递减，且 $ f(2) = -1 $，则满足 $ f(2x - 4) ＞ -1 $ 的实数 $ x $ 的取值范围是(C)

A.$ (3,+\infty) $
B.$ (-\infty,3) $
C.$ [2,3) $
D.$ [0,3) $

答案： 6.C $\because$函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，且$f(2)=-1$，对于$f(2x - 4)＞-1$，即为$f(2x - 4)＞f(2)$，则$0\leq2x - 4＜2$，解得$2\leq x＜3$，$\therefore$实数$x$的取值范围是$[2,3)$。

7. 已知函数 $ f(x) = x|x| - 2x $ 的单调增区间为$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$.

答案： 7.$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$ $x\geq0$时，$f(x)=x^{2}-2x$，对称轴$x=1$，开口向上，在$(1,+\infty)$上递增，$x＜0$时，$f(x)=-x^{2}-2x$，对称轴$x=-1$，开口向下，在$(-\infty,-1)$上递增，$\therefore$函数的递增区间是$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$。

8. 已知函数 $ y = f(x) $ 在定义域 $ (-1,1) $ 上是减函数，且 $ f(1 - a) ＜ f(2a - 1) $，则实数 $ a $ 的取值范围为$(0,\frac{2}{3})$.

答案： 8.$(0,\frac{2}{3})$ 由题意知$\begin{cases}-1＜1-a＜1\\-1＜2a-1＜1\\1-a＞2a-1\end{cases}$，解得$0＜a＜\frac{2}{3}$，即所求$a$的取值范围是$(0,\frac{2}{3})$。

9. 画出下列函数的图象，并写出它的单调区间.
(1) $ f(x) = |x + 2| $；
(2) $ f(x) = |x^2 - 3x + 2| $.

答案：
9.解
(1)图象如下，

$f(x)$的单调递增区间为$[-2,+\infty)$，单调递减区间为$(-\infty,-2)$。
(2)图象如下，

$f(x)$的单调递增区间为$[1,\frac{3}{2})$和$[2,+\infty)$，单调递减区间为$(-\infty,1)$和$[\frac{3}{2},2)$。